Что такое переменные? Переменная величина в математике. Переменные и постоянные величины

Переменные и постоянные величины

величины, которые в изучаемом вопросе принимают различные значения либо, соответственно, сохраняют одно и то же значение. Например, при изучении падения тела расстояние последнего от земли и скорость падения - переменные величины, ускорение же (если пренебречь сопротивлением воздуха) - величина постоянная. Элементарная математика рассматривала все изучаемые ею величины как постоянные. Понятие переменной величины возникло в математике в 17 в. под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения - процессов, а не только состояний. Это понятие не укладывалось в формы, выработанные математикой древности и средних веков, и требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Р. Декарт а. В буквах декартовой алгебры, могущих принимать произвольные числовые значения, и нашли своё символическое выражение переменные величины. «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление...» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 573). В этот период и вплоть до середины 19 в. преобладают механические воззрения на переменные величины. Наиболее ярко они были выражены И. Ньютон ом, называвшим переменные величины «флюэнтами», то есть текущими, и рассматривавшим их «... не как состоящие из крайне малых частей, но как описываемые непрерывным движением» («Математические работы», М., 1937, с. 167). Эти воззрения оказались весьма плодотворными и, в частности, позволили Ньютону совершенно по-новому подойти к нахождению площадей криволинейных фигур. Ньютон впервые стал рассматривать площадь криволинейной трапеции (ABNM на рис. ) не как постоянную величину (вычисляемую суммированием составляющих её бесконечно малых частей), а как переменную величину, производимую движением ординаты кривой (NM ); установив, что скорость изменения рассматриваемой площади пропорциональна ординате NM, он тем самым свёл задачу вычисления площадей к задаче определения переменной величины по известной скорости её изменения. Законность внесения в математику понятия скорости была обоснована в начале 19 в. теорией Предел ов, давшей точное определение скорости как производной (См. Производная). Однако в течение 19 в. постепенно выясняется ограниченность описанного выше воззрения на переменные величины. Математический анализ всё больше становится общей теорией функций, развитие которой невозможно без точного анализа сущности и объёма её основных понятий. При этом оказывается, что уже понятие непрерывной функции в действительности значительно сложнее, чем приведшие к нему наглядные представления. Открываются непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке; понимать такую функцию как результат движения означало бы допускать движение, не имеющее скорости ни в какой момент. Всё большее значение приобретает изучение разрывных функций, а также функций, заданных на множествах значительно более сложной структуры, чем интервал или объединение нескольких интервалов. Ньютоновское толкование переменной величины становится недостаточным, а во многих случаях и бесполезным.

С другой стороны, математика начинает рассматривать как переменные не только величины, но и всё более разнообразные и широкие классы других своих объектов. На этой почве во 2-й половине 19 в. и в 20 в. развиваются теория множеств, топология и математическая логика. О том, насколько расширилось в 20 в. понятие переменной величины, свидетельствует тот факт, что в математической логике рассматриваются не только переменные, пробегающие произвольные множества предметов, но и переменные, значениями которых служат высказывания, предикаты (отношения между предметами) и т.д. (см. Переменная).

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Переменные и постоянные величины" в других словарях:

В математике величины, которые в изучаемом вопросе принимают различные значения или сохраняют одно и то же значение. Различие между переменной и постоянной величинами относительно: величина, постоянная в некотором вопросе, может быть переменной в … Большой Энциклопедический словарь

- (матем.), величины, которые в изучаемом вопросе принимают различные значения или сохраняют одно и то же значение. Различие между переменной и постоянной величинами относительно: величина, постоянная в некотором вопросе, может быть переменной в… … Энциклопедический словарь

См. Константа, Переменная. Философская Энциклопедия. В 5 х т. М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960 1970 … Философская энциклопедия

- (матем.), величины, к рые в изучаемом нопросс принимают разл. значения или сохраняют одно и то же значение. Различие между переменной и постоянной величинами относительно: величина, постоянная в нек ром вопросе, может быть переменной в другом … Естествознание. Энциклопедический словарь

I Переменные звёзды П. з. звезды, видимый блеск которых подвержен колебаниям. Многие П. з. являются нестационарными звездами; переменность блеска таких звезд связана с изменением их температуры и радиуса, истечением вещества,… … Большая советская энциклопедия

См. Переменные и постоянные величины, Константа. * * * ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА, см. Переменные и постоянные величины (см. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ), Константа (см. КОНСТАНТА) … Энциклопедический словарь

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной . Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,… , постоянные – a, b, c,…

Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.

Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки.

УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина , если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее.

Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Для таких величин при i < j, i, j Î N , значение x i считается предшествующим, а x j – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами .

Например, числовую последовательность образуют следующие величины:

ФУНКЦИЯ

При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr 2 . Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной переменной влечет изменение другой.

Если каждому значению переменной x , принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y , то y называется функцией переменной х . Символически будем записывать y=f(x) . При этом переменная x называется независимой переменной или аргументом .

Запись y=C , где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C .

Множество значений x , для которых можно определить значения функции y по правилу f(x) , называется областью определения функции .

То избавьтесь и от него, возведя обе части тождества в , равную показателю корня. Для примера, приведенного выше, это действие должно выразиться в преобразовании к такому виду: 36*Y² = X. Иногда операцию этого шага удобнее произвести до действия из шага предыдущего.

Преобразуйте выражение таким образом, чтобы все члены тождества, содержащие нужную переменную , оказались в левой части равенства. Например, если формула имеет вид 36*Y-X*Y+5=X и вас интересует переменная X, достаточно будет поменять местами левую и правую половины тождества. А если выразить нужно Y, то формула в результате этого действия должна приобрести вид 36*Y-X*Y=X-5.

Упростите выражение в левой части формулы так, чтобы искомая переменная стала одним из . Например, для формулы из предыдущего шага это можно сделать так: Y*(36-X)=X-5.

Разделите выражения по обе знака равенства на сомножители интересующей вас переменной. В результате в левой части тождества должна остаться только эта переменная. Использованный выше после этого шага приобрел бы такой вид: Y = (X-5)/(36-X).

Если искомая переменная в результате всех преобразований будет возведена в какую в степень, то избавьтесь от степени извлечением корня из обеих частей формулы . Например, формула из второго шага к этому этапу преобразований должна прибрести вид Y²=X/36. А ее окончательный вид должен стать таким: Y=√X/6.

Переменные

Основным показателем переменной является то, что она записывается , а буквой. Под условным обозначением чаще всего скрывается определенное значение. Переменная получила свое название благодаря тому, что ее значение меняется в зависимости от уравнения. Как правило, любая может быть использована в качестве обозначения для такого элемента. Например, если вы знаете, что у вас есть 5 рублей и вы хотите купить яблоки, которые стоят 35 копеек, конечное количество яблок, которые можно купить, (например «С»).

Пример использования

Если есть переменная, которая была выбрана по вашему усмотрению, необходимо составить алгебраическое уравнение. Оно будет связывать между собой известные и неизвестные величины, а также показывать связь между ними. Это выражение будет включать в себя цифры, переменные и одну алгебраическую операцию. Важно отметить, что выражение будет содержать знак равенства.

Полное уравнение содержит значение выражения в целом. Оно отделено от остального уравнения знаком равенства. В предыдущем примере с яблоками 0.35 или 35 копеек, умноженные на «С», является выражением. Для того чтобы создать полное уравнение, необходимо записать следующее:

Мономиальные выражения

Существуют две основные классификации выражений: одночлены . Мономы являются единичной переменной, числом или произведением переменной и числа. Кроме того, выражение из нескольких переменных или выражений с показателями также является мономом. Например, число 7, переменная х, и произведение 7*x - это моном. Выражения с показателями, в том числе x^2 или 3x^2y^3 также одночлены.

Полиномы

Полиномы являются выражениями, которые включают комбинацию из сложения или вычитания двух или более . Любой тип одночленов, в том числе цифр, отдельных переменных или выражений с числами и неизвестными, могут быть включены в полином. Например, выражение х+7 является многочленом, который складывают вместе моном х и моном 7. 3x^2 - также многочлен. 10x+3xy-2y^2 – многочлена, который сочетает три одночлена с использованием сложения и вычитания.

Зависимые и независимые переменные

В независимыми переменными являются неизвестные, которые определяют другие части уравнения. Они стоят отдельно в выражениях и не изменяются вместе с другими переменными.

Значения зависимых переменных определяются с помощью независимых. Их значения зачастую определяются эмпирически.

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной . Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,… , постоянные – a, b, c,…

Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.

Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки.

УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

x есть упорядоченная переменная величина , если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее.

Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Для таких величин при i < j, i, j  N , значение x i считается предшествующим, а x j – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами .

Например, числовую последовательность образуют следующие величины:

ФУНКЦИЯ

При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr 2 . Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной переменной влечет изменение другой.

Если каждому значению переменной x , принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y , то y называется функцией переменной х . Символически будем записывать y=f(x) . При этом переменная x называетсянезависимой переменной или аргументом .

Запись y=C , где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C .

Множество значений x , для которых можно определить значения функции y по правилу f(x) , называется областью определения функции .

Заметим, что числовая последовательность также является функцией, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел.

К основным элементарным функциям относятся все функции, изучаемые в школьном курсе математики:

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана основными элементарными функциями и постоянными при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа – производная, интеграл и др.

Начнем с понятия предела числовой последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = {x n }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n>N выполняется неравенство |x n - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {x n }, то говорят, что x n стремится к a , и пишут .

Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие.

Окрестностью точки x 0 называется произвольный интервал (a, b ), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x 0 , для которой x 0 является серединой, тогда x 0 называется центром окрестности, а величина (b –a )/2 – радиусом окрестности.

Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде

Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).

Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {x n }, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a ) найдется такой элемент последовательности с номером N , что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

Примеры.

Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N , что при всех n>N выполняется неравенство |x n - 1| < ε. Действительно, т.к.

,

то для выполнения соотношения |x n - a| < ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству , получим что нужно. Так если взять, например, , то, положив N= 6, для всех n >6 будем иметь .

Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим

Тогда , если или , т.е. . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству .

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение x n = c , то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство |x n - c | = |c - c | = 0 < ε.

Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может иметь двух пределов. Действительно, предположим, что x n → a и одновременно x n → b . Возьмем любое и отметим окрестности точек a и b радиуса ε (см. рис.). Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а , так и в окрестности точки b , что невозможно.

Замечание 3. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная величина принимает значения . Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу.

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ

До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу.

Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности , если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х 0 , начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M .

Например, пусть переменная х принимает значения x 1 = –1, x 2 = 2, x 3 = –3, …, x n =(–1) n n, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M .

Переменная величина x → +∞ , если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M .

Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M .

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M , что для всех значений x |x|>M , выполняется неравенство |f(x) - b | < ε.

Обозначают .

Примеры.

Нужно доказать, что при произвольном ε будет выполняться неравенство , как только |x|>M , причем число М должно определяться выбором ε. Записанное неравенство эквивалентно следующему , которое будет выполняться, если |x|> 1/ε=M . Это и значит, что (см. рис.).

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞.

Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) некотором способе изменения аргумента.

Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a , т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М , как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х ≠a , удовлетворяющих условию |x-a | < δ, имеет место неравенство |f(x) | > M .

Если f(x) стремится к бесконечности при x → a , то пишут или f(x) →∞ при x → a .

Сформулируйте аналогичное определение для случая, когда x →∞.

Если f(x) стремится к бесконечности при x → a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .

Примеры.

ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть задана функция y=f(x) , определенная на некотором множестве D значений аргумента.

Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D , если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M . Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D .

Примеры.

Функция y =sin x , определенная при -∞<x <+∞, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x |≤1 = M .

Функция y =x 2 +2 ограничена, например, на отрезке , так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ≤f (3) = 11.

Рассмотрим функцию y =ln x при x  (0; 1). Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при x →0 ln x →-∞.

Функция y=f(x) называется ограниченной при x → a , если существует окрестность с центром в точке а , в которой функция ограничена.

Функция y=f(x) называется ограниченной при x → ∞ , если найдется такое число N> 0, что при всех значениях х , удовлетворяющих неравенству |x|>N , функция f(x) ограничена.

Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.

Теорема 1. Если и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x → a .

Доказательство . Т.к. , то при любом ε>0 найдется такое число δ>0, что при вех значениях х , удовлетворяющих неравенству |x-a|< δ, выполняется неравенство |f(x) –b|< ε. Воспользовавшись свойством модуля |f(x) – b|≥|f(x)| - |b| , последнее неравенство запишем в виде |f(x)|<|b|+ ε. Таким образом, если положить M=|b|+ ε, то при x → a |f(x)|

Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если , то она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Приведите пример.

Теорема 2. Если , то функция y=1/f(x) ограничена при x → a .

Доказательство . Из условия теоремы следует, что при произвольном ε>0 в некоторой окрестности точки a имеем |f(x) – b|< ε. Т.к. |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)| , то |b| - |f(x)|< ε. Следовательно, |f(x)|>|b| - ε >0. Поэтому и .

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x → a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x → a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x) , где a(x) – бесконечно малая при x → a.

Доказательство .

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство . Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x) , где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε> 0 найдется δ> 0, такое, что для x , удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ , выполняется|f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε> 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ 1 > 0, что при |x – a|< δ 1 имеем |α(x)|< ε/ 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ 2 > 0, что при |x – a|< δ 2 имеем| β(x)|< ε/ 2.

Возьмем δ=min{ δ 1 , δ 2 } .Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/ 2 и | β(x)|< ε/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,

т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x → a (или при x → ∞ ) есть бесконечно малая функция.

Доказательство . Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x → a , то для произвольного ε> 0 найдется окрестность точки a , в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M . Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M = ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x → ∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c= const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x) , предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство . Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ

И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x → a , то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x → a .

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x , для которых |x – a|<δ , выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x → a , то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ , так |f(x)|> 1/ ε. Но тогда для тех же x .

Примеры.

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x → a (или x → ∞) и не обращается в нуль, то y= 1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ IX

§ 201. Постоянные и переменные величины. Понятие функции

С понятием функции мы уже неоднократно сталкивались. В части I мы рассмотрели линейную, квадратную, степенную и тригонометрические функции. Предыдущая глава была посвящена изучению показательной и логарифмической функций. Теперь нам предстоит сделать общий обзор того, что мы уже знаем о функциях, и рассмотреть некоторые новые вопросы.

Наблюдая различные процессы, можно заметить, что величины, участвующие в них, ведут себя по-разному: одни из них изменяются, другие остаются постоянными. Если, например, в треугольнике ABC вершину В перемещать по прямой MN, параллельной основанию АС (рис. 263), то величины углов А, В и С при этом будут непрерывно изменяться, а сумма их, высота h и площадь треугольника будут оставаться неизменными.

Другой пример. Если какой-нибудь газ сжимать при постоянной температуре, то объем его (V ) и давление (р ) будут изменяться: объем уменьшаться, а давление увеличиваться. Произведение же этих величин, как устанавливает закон Бойля - Мариотта, будет оставаться постоянным:

Vp = c ,

где с - некоторая константа.

Все величины можно разделить на постоянные и переменные.

Переменные величины, участвующие в каком-либо процессе, обычно изменяются не независимо друг от друга, а в тесной связи друг с другом. Например, сжатие газа (при постоянной температуре) приводит к изменению его объема, а это, в свою очередь, обусловливает изменение давления газа. Изменение радиуса основания цилиндра вызывает изменение площади этого основания; последнее же приводит к изменению объема цилиндра и т д. Одна из плавных задач математического изучения того или иного процесса заключается в том, чтобы установить, как изменение одних переменных величин влияет на изменение других переменных величин.

Рассмотрим несколько примеров. Упомянутый выше закон Бойля - Мариотта говорит, что при постоянной температуре объем газа V изменяется обратно пропорционально давлению р : V = c / p . Если известно давление, то по этой формуле можно вычислить объем газа. Аналогично, формула S = πr 2 позволяет определить площадь круга S, если известен его радиус r . По формуле β = π / 2 - α можно найти острый угол прямоугольного треугольника, если известен другой острый угол этого треугольника, и т. д.

При сравнении двух переменных величин одну из них удобно рассматривать как независимую переменную, а другую - как зависимую переменную величину. Например, радиус круга r естественно считать независимой переменной, а площадь круга S = πr 2 - зависимой переменной величиной. Аналогично давление газа р можно считать независимой переменной величиной; тогда его объем V = c / p будет зависимой переменной величиной.

Какую же из двух переменных величин выбрать в качестве зависимой и какую в качестве независимой? Этот вопрос решается по-разному в зависимости от поставленной цели. Если например, нас интересует, к чему приводит изменение давления газа при постоянной температуре, то естественно дпиление принять за независимую, а объем - за зависимую Переменную величину. В этом случае зависимая переменная величина V будет выражаться через независимую величину р по формуле: V = c / p . Если же мы хотим выяснить последствия сжатия газа, то лучше объем рассматривать как независимую, а давление -как зависимую переменную величину. Тогда зависимая переменная величина р будет выражаться через независимую переменную величину V по формуле р = c / V . В любом из этих случаев две величины связаны между собой так, что каждому возможному значению одной из них соответствует вполне определенное значение другой.

Если каждому значению одной переменной величины х каким-либо образом поставлено в соответствие вполне определенное значение другой величины у , то говорят, что задана функция.

Величину у при этом называют зависимой переменной величиной или функцией , а величину х - независимой переменной величиной или аргументом .

Для выражения того, что у есть функция аргумента х , обычно используют обозначения: у = f (х ), у = g (x ) , у = φ (х ) и т. д. (читается: игрек равно эф от икс, игрек равно же от икс, игрек равно фи от икс и т. д.). Выбор буквы для обозначения функции (f, g, φ ) является, конечно, несущественным. Существенно лишь то, какую связь между величинами х и у выражает эта буква.

Значение, которое принимает функция f (х ) при х = а , обозначается f (a ). Если, например, f (х ) = x 2 + 1, то

f (1) = 1 2 + 1 = 2;

f (2) = 2 2 + 1 = 5;

f (a + 1) = (а + 1) 2 + 1 = а 2 + 2а + 2;

f (2а ) = (2а ) 2 + 1 = 4а 2 + 1

Упражнения

1515. Газ, находящийся под давлением в 2 атмосферы, сжимается. Как изменяется при этом: а) вес газа; б) его объем; в) его давление?

1516. По электрической цепи течет ток. С помощью реостата мы изменяем сопротивление цепи. Изменяется ли при этом: а) ток в цепи; б) напряжение тока?

1517. Вершина В треугольника ABC движется по окружности, диаметр которой совпадает с основанием АС этого треугольника. Какие величины в этом процессе остаются постоянными и какие изменяются?

1518.

Найти: а) f (0); б) f (а 2); в) f ( 1 / a ); г) f (sin а ).

1519. Выразить f (2а ) через f (а ) для функций:

а) f (х ) = sin х ; б) f (х ) = tg х ;