Нестандартные способы решения задач на смеси и сплавы. История педагогики
Первая часть книги - "Арифметика политика", объемом в 218 двойных страниц, посвящена изложению собственно арифметики, а также прогрессиям и корням (квадратным и кубическим). Она состоит из 5 частей:
1. О числах целых.
2. О числах ломаных, или с долями.
3. О правилах подобных, в трех, в пяти и в седми перечнях.
4. О правилах фальшивых, еже есть гадательных.
5. О правилах радиксов, квадратных и кубических, геометрии принадлежащих.
Кратко охарактеризуем каждую из частей первой книги.
В первой части рассмотрены целые числа и 5 действий - нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление. В отличие от рукописей XVII в., Магницкий кроме правил их выполнения дает определения действий:
"Что есть нумерацио? Нумерацио есть счисление еже совершенно вся числа речию именовати, яже в десяти знаменованиях, или изображениях содержатся и изображаются аще: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 , 0, из них же девять назнаменовательны суть: последнее же 0 (еже цифрою или ничем именуется) егда убо едино стоит, тогда само о себе ничтоже значит. Егда же коему оных знаменований приложение будет, тогда умножает в десятеро".
Определения арифметических действий, видимо, заимствованы Магницким из современной ему западноевропейский литературы. "Аддицио, или сложение есть двух или многих числ во едино собрание, или во един перечень совокупление" , - так определяет Магницкий сложение. Вычитание определялось у Магницкого не как действие, обратное сложению, но как самостоятельная операция, что можно считать естественным на первой стадии обучения. "Субстракцио, или вычитание есть имже малое число, из болшего вычитаем и излишнее объявляем" .
Как независимые действия, решающие некоторые задачи, определялись также умножение и деление. "Умножение есть, имже что в числах умножаем, или коликим вещам по множеству иных вещей раздаем: и количество их числом показуем" . Таким образом, Магницкий сводил умножение к повторному сложению совокупностей предметов. "Деление есть имже болшее число, или перечень на равные части меншим разделяем, от них же едину числом же показуем" .
Безусловно, эти определения крайне несовершенны как с содержательной, так и с методической точки зрения. Мы не будем заниматься бесплодной их критикой хотя бы потому, что она является внеисторической. Сам факт попытки определения арифметических действий носит продуктивный характер, так как он положил начало процессу, в результате которого в ходе анализа и совершенствования родились современные определения.
Свойства действий не рассматривались. Основное внимание, естественно, уделялось правилам действий и разбору многочисленных примеров. Причем Магницкий, как и его предшественники, приводил по нескольку способов деления и умножения. Знаки действий не употреблялись (как и в иностранных учебниках того времени). Значительное внимание уделял Магницкий способам проверки арифметических действий. Для проверки вычитания и деления применялись обратные действия, для всех действий - проверка с помощью 9.
Далее идут именованные числа, которым предпосылается обширный трактат о древних греческих, римских и еврейских деньгах, мерах и весах Голландии и Пруссии, мерах и деньгах "Московского государства и окрестных некиих", 3 сравнительных таблицы мер, веса и денег. Этот трактат, отличающийся замечательными подробностями, ясностью и точностью, свидетельствует о глубокой эрудиции Магницкого. Более того, он имеет несомненную историческую значимость, так как дает сведения о системах мер и денежном обращении России. Что касается именованных чисел, то Магницкий знакомит читателя с их сложением и вычитанием, а также с "раздроблением" и "превращением", которые рассматривает как деление и умножение. Действия с именованными числами выполняются обычным способом.
Во второй части "Арифметики политики" подробно излагаются дроби. Магницкий впервые в русской математической литературе дает определение дробей: "Число ломаное ничтоже ино есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется аще 1/2 рубля, или четь 1/4 или пятая часть 1/5, или две пятые части 2/5 и всякие вещи яковая либо часть, объявлена числом: т.е. ломаное число" .
Не случайно изучение дробей следовало за отделом об именованных числах и системах мер: дробь понималась Магницким не как отвлеченное число или доля отвлеченной единицы, но как доли величины, вещи. Дробь при этом мыслилась как некое целое, состоящее из меньших единиц (полтина - 50 копеек, например). Затем Магницкий подробно излагает арифметические действия с дробями - нумерацию, сокращение, сложение, вычитание, умножение и деление.
Третья часть "Арифметики политики" содержит тройные правила, изложенные, в отличие от рукописей XVII в. подробно и расчлененно. Кроме обычного тройного правила в целых и долях различаются "возвратительное", т.е. обратное тройное правило; "правило тройное сократительное", в котором возможно предварительное сокращение членов пропорции, и правила 5, а также 7 величин. Магницкий прямо связал тройное правило с пропорциональностью величин, однако сколько-нибудь развитое учение о пропорциях у него отсутствует. Поэтому даже простое тройное правило описано в "Арифметике политике" недостаточно ясно.
В четвертой части "Арифметики политики" изложены правила ложного положения. Магницкий, в отличие от своих русских и иностранных предшественников, рассмотрел не 2, а 3 случая правила 2 ложных положений: 1) когда оба положения больше искомого; 2) когда оба они меньше; 3) когда одно больше, а другое меньше. У Магницкого имеются также задачи, решаемые по правилу одного ложного положения, которое он тем не менее специально не выделил. Этим заканчивается та часть "Арифметики", которая роднила ее с рукописями XVII в. Остальное ее содержание для русского читателя было новым.
В последней, пятой части "Арифметики политики" Магницкий поместил учение о прогрессиях и об извлечении квадратных и кубических корней. Эти вопросы он справедливо относит к алгебре. Элементы алгебры Магницкий излагает во второй части книги, однако, считая, что изучать ее будут немногие, решает предложить некоторые вопросы "в дополнение многих, в прешедших частях различных правил...". Учитывая потребности практики, он приводит много примеров приложения алгебраического материала к военному и морскому делу.
В пятой части Магницкий возвращается к "подобенствам", или, как он их теперь называет, пропорциям и прогрессиям - арифметическим, геометрическим, лишь упомянув о "гармонических". Он продолжает введенную им в русскую учебную книгу традицию введения определений:
"Прогрессио есть пропорция или подобенство числ к числам в примножении, или во уменшении яковых либо перечнев".
"Арифметическое прогрессио или пропорция есть, егда три или многая числа коеждо их друг от друга равное разнство, но разные пропорции имать, и сие или единаким пошествием, яко 2, 4, 6, 8, 10, 12 или не единаким, яко 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13".
"Геометрическое прогрессио или пропорция есть, егда три или многая числа, едину и туюжде между собою пропорцию, но разнства различная имут, и сие или единаким пошествием, яко 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, или не единаким, яко 2, 4, 6, 12, 18".
Рассматриваются убывающие и возрастающие прогрессии, свойства арифметических прогрессий и правило для вычисления ее суммы: " Первый предел и последний сложи, и то сложение сумножи с половиною всех пределов" . Формула для общего члена, естественно, не дается, правило формулируется для конкретного (14-го) члена прогрессии: "Разнством сумножи 13 мест, и первый предел к тому приложи, и будет последний предел" . Изложение геометрической прогрессии начинается определением ее знаменателя: "Идеже достоит умствовати яко егда, два числа геометрического прогрессия, и едино другим разделяется, и произведение бывает пропорция, или умноженное число, имже прогрессия возвышается или вознижается" . Формул для нахождения общего члена и суммы членов геометрической прогрессии у Магницкого нет, при решении задач он пользуется описательным способом.
Квадратному корню посвящена статья "О радиксе квадратном". Магницкий дает геометрическое определение квадратного корня, так как использует его в дальнейшем в основном в геометрических приложениях. Определив сторону квадрата по его площади и поместив табличку квадратов от 1 до 12, Магницкий отмечает, что всякое число может быть квадратом и подробно на примере описывает способ извлечения квадратного корня из целых и дробных чисел. Приближенное значение корня он получает приписыванием пар нулей справа.
По аналогии вводится и понятие о кубическом корне, которому посвящена статья "О радиксе кубическом".
Интересны задачи этой статьи, среди которых есть задачи на замену куба несколькими равновеликими между собой кубами: "Некоторый куб имеет сторону 28 вершков. Из него надо сделать 8 одинаковых меньших кубов. Определить сторону куба".
В связи с большим количеством вычислений в пятой части "Арифметики политики" Магницкий впервые в отечественной математической литературе приводит сведения о десятичных дробях: "иной член арифметики... яже децималь или десятная именуется, сиречь в десятных частях, или в сотых, или в тысящных и множайших" . Он рассматривает сложение десятичных дробей, формулирует правила их вычитания и умножения.
Леонтий Филиппович Магницкий и его «Арифметика»
В первой четверти XVIII века математическому просвещению в России было сообщено новое направление. Математика перестает быть частным делом и обучение ей ставится на службу политическим, военным, экономическим задачам государства. За распространение светского образования борется с большой энергией правительство во главе с царем, позднее императором Петром I (1682 – 1725).
О роли, которая придавалась математическому образованию, говорит даже название некоторых школ. Первой была основана по указу 14 (25) января 1701 г. школа «математических и навигацких, то есть мореходно хитростно искусств учения» в Москве. В 1714 г. приступили к организации в ряде городов низших «цыфирных» школ. В 1711 г. в Москве начала функционировать инженерная школа и в 1712 г. артиллерийская. В 1715 г. от Навигацкой школы отделилась Морская академия в Петербурге, которой поручено было готовить специалистов для флота.
К преподаванию в Навигацкой школе было привлечено несколько человек. Во главе дела был поставлен А. Д. Фархварсон. Его ближайшим помощником являлся Л. Ф. Магницкий; с ними работали также Стефан Гвин и Грейс.
Леонтий Филиппович Магницкий родился 19 июня 1669 г. Он происходил из тверских крестьян. По-видимому, самоучкой он изучил многие науки и среди них математику, а также несколько европейских языков. В Навигацкой школе он работал с начала 1702 г., преподавая арифметику, геометрию и тригонометрию, иногда и мореходные науки. С 1716 г. до конца жизни Магницкий руководил школой, в которой была тогда прекращена подготовка морских кадров. К осени 1702 г. он уже закончил свою знаменитую «Арифметику». Вместе с Фархварсоном и Гвином он опубликовал «Таблицы логарифмов и синусов, тангенсов и секансов». Эти таблицы содержали семизначные десятичные логарифмы чисел до 10 000, а затем логарифмы и натуральные значения названных функций. «Во употребление и знание математико-навигацким ученикам», как сказано на титульном листе, было выпущено через 13 лет второе издание этой книги. Фархварсон и Магницкий подготовили также русское издание голландских «Таблиц горизонтальных северные и южные широты восхождения солнца…», содержащих нужные мореплавателям таблицы с объяснением, как ими пользоваться. Скончался Магницкий, проработав в Навигацкой школе почти сорок лет, 30 октября 1739 г. и был похоронен в одной из московских церквей.
«Арифметика» Магницкого. Первое печатное руководство по арифметике на русском языке было издано за границей. В 1700 г. Петр I дал голландцу Я.Тессингу право печатать и ввозить в Россию книги светского характера, географические карты и т.д. По математике Тессинг выпустил «Краткое и полезное руковедение во аритметыку» Ильи Федоровича Копиевича или Копиевского, родом из Белоруссии. Однако арифметике здесь отведено лишь 16 страниц, где даны краткие сведения о новой нумерации и первых четырех действиях над целыми числами, причем сообщаются весьма лаконичные определения операций. Нуль зовется оником или же, как вскоре и у Магницкого, цифрою; это слово перешло в Европу из арабской литературы и долгое время означало нуль. Остальные 32 страницы книжечки содержат нравоучительные изречения и притчи.
«Руковедение» Копиевича не имело успеха, и не могло идти ни в какое сравнение с появившейся вскоре «Арифметикой» Магницкого, изданной очень большим для того времени тиражом – 2400 экз. Эта «Арифметика сиречь наука числительная. С разных диалектов на славянский язык преведеная, и во едино собрана, и на две книги разделена», изданная в Москве в январе 1703 г., сыграла в истории русского математического образования чрезвычайную роль. Популярность сочинения была необыкновенная, и около 50 лет оно не имело конкурентов, как в школах, так и в более широких читательских кругах. «Арифметику» Магницкого и грамматику Смотрицкого называл «вратами своей учености» Ломоносов. Вместе с тем, «Арифметика» являлась связующим звеном между традициями московской рукописной литературы и влияниями новой, западноевропейской.
С внешней стороны «Арифметика» представляет собой большой том 662 страницы, набранный еще славянским шрифтом. Имея в виду интересы не только школы, но и самоучек, каким в математике являлся он сам, Магницкий снабдил все правила действий и решения задач очень большим числом подробно решенных примеров.
«Арифметика» делится на две книги. Первая из них, большая (в ней 218 листов), - состоит из пяти частей и посвящена преимущественно арифметике в собственном смысле слова. Во второй книге (насчитывающей 87 листов) три части, включающие алгебру с геометрическими приложениями, начала тригонометрии, космографию, географию и навигацию. Тут все было новым для русского читателя.
На титульном листе сам Магницкий характеризовал свое сочинение как перевод – лучше сказать, переложение – с различных языков, оставляя за собой лишь «во едино собрание». Эти слова нужно понимать в том смысле, что Магницкий изучил и использовал целый ряд более ранних руководств, причем он не ограничился старыми нашими рукописями, но привлек и иностранную литературу. Фактически, «собирая во едино» арифметические, алгебраические, геометрические и иные материалы, будь то отдельные задачи или методы решения задач - он все подверг весьма тщательному отбору и существенной обработке. В результате возник вполне оригинальный курс, учитывающий запросы и возможности русских читателей того времени и вместе с тем открывающий перед ними, как выразился Ломоносов, врата к дальнейшему углублению знаний.
В первой книге «Арифметики» очень много почерпнуто, в обработанном виде, из рукописей. Вместе с тем уже в первых четырех частях этой книги немало нового, начиная с обучения арифметическим действиям. Весь материал расположен гораздо более систематически, существенно обновлены задачи, исключены сведения о счете костьми и дощаном счете, современная нумерация окончательно вытесняет алфавитную и старый счет на тьмы, легионы и пр. заменен общепринятыми в Европе миллионами, биллионами, триллионами и квадриллионами. Далее этого Магницкий не идет, ибо
«Довлеет числа сего
К вещем всем мира всего».
Тут же, впервые в наших учебниках, высказана идея бесконечности натурального ряда:
«Число есть бесконечно,
Умом нам недотечно
Ни кто не знает конца,
Кроме всех Бога творца».
Стихи вообще нередко встречаются в «Арифметике»: в такой форме Магницкий любил высказывать поучения, общие выводы и советы читателю.
Главную роль в первой книге «Арифметики» играют, как и в рукописях, тройное правило и правило двух ложных положений, а несколько задач решено по правилу одного ложного положения, которое, впрочем, в общем виде не формулируется. Однако, в отличие от рукописей, различаются «возвратительное», т.е. обратное тройное правило и правила пяти, а также семи величин. Все это вместе с правилом «соединительным», т.е. смешения, объединено под именем «правил подобных». Подобие или подобенство – термин, означающий пропорциональность, а также пропорцию. Магницкий обстоятельно описывает простое тройное правило, которое характеризует, как «некий устав о трех перечнях, их же друг к другу подобием учит изобретати четвертый, третьему подобный». Эти три данные числа называются количество, цена и изобретатель; первое и третье должны быть «единого качества», а третье «изобретает иный перечень подобный себе, таковым же подобием яковым и второй первому подобен есть».
Магницкий прямо связывает тройное правило с пропорциональностью величин, и читатель, усваивая правило, заодно свыкался с представлением о свойствах «подобия» двух пар чисел. Сама формулировка правила конкретно выражала одно из свойств пропорции. Однако Магницкий не выделил и не разъяснил предварительно применяемые им общие свойства пропорциональных величин.
К «подобенствам» или, как он их теперь называет, пропорциям, Магницкий возвращается в пятой части, озаглавленной «О прогрессиях и радиксах квадратных и кубических». Определив общим образом «прогрессио» или «шествование», Магницкий разделяет прогрессии на арифметические, геометрические и «армонические».
Пятой частью заканчивается первая книга «Арифметики». Она отличается от прежних русских арифметических рукописей не только гораздо большим богатством содержания, но и самой манерой подачи материала. В рукописях отсутствовали не только доказательства, но почти полностью даже определения понятий. У Магницкого также не было доказательств в строгом смысле слова, но в очень многих случаях он, растолковывая свои правила, подводит к их сознательному применению. Так поступает он, например, при изложении тройного правила. Особенно важным средством содержательного изложения и воспитания мышления стали у Магницкого определения, которыми он пользуется не только, когда вводит такие неизвестные понятия, как прогрессия или радикс, но и в случае вполне обиходных понятий и действий.
Уже в первой книге «Арифметики» Магницкий проделал большую работу по обогащению и улучшению русской математической терминологии. Многие термины впервые встречаются у Магницкого или, во всяком случае,
благодаря ему вошли в наш математический словарь: множитель, произведение, делимый и частный перечни, делитель, квадратное число, среднее пропорциональное число, извлечение корня, пропорция, прогрессия и т.д.
Вторая книга «Арифметики» впервые знакомила нашего читателя с обширным кругом знаний, которые Магницкий назвал «арифметикой астрономской» и которые включили, среди прочего, алгебру и тригонометрию. В предисловии Магницкий подчеркивал значение всего этого комплекса сведений для России его времени. Изучение алгебры он рассматривал как «некий высочайший и тщаливейшим токмо свойственный жребий, зане не всякому общенародному человеку есть сия потребна, яко купцем, икономам, ремесленником и таковым».
Слово алгебра Магницкий производил, как и многие, от имени якобы изобретшего ее Гебера. Итальянцы зовут ее коссика, от слова коса, т.е. вещь. Прежде всего Магницкий знакомит с коссическими названиями, а также обозначениями степеней неизвестной вплоть до 25-й включительно. Этот «вид» алгебры он называет нумерацией. После того Магницкий переходит к другому способу обозначения – «знаменованию алгебраитики». Обозначение неизвестных величин прописными гласными и данных величин прописными согласными ввел Ф.Виет, который характеризовал степени, ставя рядом с буквой полное или сокращенное латинское название степени.
Магницкий приводит два примера алгебраических выражений в буквенном обозначении, предупреждая, что числовой коэффициент (этого термина у него нет) ставится впереди соответствующей буквы. В дальнейшем он употребляет коссические знаки и излагает на многих примерах основы алгебраических исчислений – вплоть до деления многочленов.
За всем этим следует вторая часть второй книги «О геометрических чрез арифметику действующих», прежде всего 18 задач, среди которых задачи на вычисление площадей параллелограмма, правильных многоугольников, сегмента круга, объемов круглых тел; сообщены диаметр, поверхность и объем Земли в итальянских милях. Попутно приведены некоторые теоремы – о равенстве стороны правильно вписанного в круг шестиугольника «семидиаметру» и о равенстве отношения площадей двух кругов отношению квадратов их диаметров. Для русского читателя здесь было много новых важных сведений. А далее Магницкий переходит к решению трех канонических видов квадратных уравнений с положительными коэффициентами при членах.
Затем разобрано несколько задач, выражающихся линейными, квадратными и биквадратными уравнениями. Геометрические задачи объединены заглавием «О различных линиях в фигурах сущих». Большинство из них относится к определению элементов прямоугольных или произвольных треугольников по тем или иным данным (например, катетов по их произведению и разности или высоты по трем сторонам и т.п.)
При оценке изложения алгебры у Магницкого следует помнить, что столь привычная теперь символика. Декарта находится в те времена признание еще немногие и повсеместное укореняется только в ХVIII веке. В курсах авторитетных педагогов XVII столетий преобладали то коссические обозначения, то символы Виета и его последователей, иногда комбинации тех и других, а иной раз собственные специально придуманные знаки. Далее, одни авторы уже принимали отрицательные и мнимые числа, другие еще отвергали их употребление, по крайней мере в школе; а это, естественно, отражалось на учении о квадратных уравнениях.
Вслед за алгеброй Магницкий на нескольких страницах дает решения семи тригонометрических «проблем», служащих для вычисления таблиц синусов, тангенсов и секансов. Он сообщает правила вычисления по синусу дуги α, меньшей 90º, косинуса дуги 90º-α, затем теоремы о синусах и хордах дуг 2α, 3α и 5α. Это первое изложение тригонометрии на русском языке в силу своей чрезмерной краткости вряд ли было доступно большинству читателей. В последней части «Арифметики» содержатся различные сведения, полезные для моряков.
«Арифметика» Магницкого удовлетворила важной государственной и общественной потребности своего времени, ее изучали много и прилежно, о чем свидетельствуют многочисленные сохранившиеся списки и конспекты книги. Разделив судьбу родственных учебников в Западной Европе, она прослужила до середины XVIII века. Все же, несмотря на свой энциклопедический характер, «Арифметика» и в Петровскую эпоху оказалась для школы недостаточной: в ней было слишком мало геометрического материала.
Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого
I. Житейские истории .
1. Бочонок кваса. Один человек выпивает бочонок за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.
Решение: 1 способ : За 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса, а вдвоем с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса. Значит, за 140 дней жена выпьет 14 – 10 = 4 бочонка кваса, а тогда один бочонок она выпьет за 140:4 = 35 дней.
2 способ : За один день человек выпивает 1/14 часть бочонка, а вместе с женой 1/10 часть. Пусть жена выпивает за один день 1/х часть бочонка. Тогда 1/14+1/х=1/10. Решив полученное уравнение, получим х=35.
2. Как разделить орехи? Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи?
Решение: 1 способ : Уменьшив второе количество орехов в большей части, мы получим их столько же, как в четырех меньших частях. Значит, большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в меньшей части. Поэтому меньшая часть должна содержать 130:13=10 орехов, а большая 130-10=120 орехов.
2 способ : Пусть в меньшей части было х орехов, тогда в большей части было (130-х) орехов. После увеличения меньшая часть стала 4х орехов, а большая после уменьшения стала (130-х)/3 орехов. По условию орехов стало поровну.
4х = (130-х)/3; 12х = 130-х; 13х = 130; х = 10 (орехов) меньшая часть,
130-10=120 (орехов) большая часть.
II. Путешествия.
1. Из Москвы в Вологду . Посланчеловек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать во всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему проходить в день по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?
Решение: 1 способ: За день первый человек пройдет по направлению к Вологде 40 верст и, значит, к началу следующего дня будет опережать второго человека на 40 верст. В каждый следующий день первый человек будет проходить по 40 верст, второй по 45 верст, а расстояние между ними будет сокращаться на 5 верст. На 40 верст оно сократиться за 8 дней. Поэтому второй человек настигнет первого к исходу 8-го дня своего путешествия.
2 способ: Пусть первый человек проходит за х дней определенное расстояние, а второй это же расстояние пройдет за (х-1) день. Для первого человека это расстояние равно 40х верст, а для второго 45(х-1) верст.
40х=45(х-1); 40х=45х-45; 5х=45; х=9.
III. Денежные расчеты.
1. Сколько стоят гуси? Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?
Решение: Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек составляют 2 * 12 + 7 = 31 полушки. Следовательно, за половину гусей уплачено 48 * 31 = 1488 полушек. За вторую половину гусей уплачено 48 * (24 -1) = 48 * 23 = 1104 полушки, т.е. за всех гусей уплачено 1488 + 1104 = 2592 полушек, что составляет 2592: 4 = 648 копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.
2. Сколько куплено баранов? Один человек купил 112 баранов старых и молодых заплатил за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын.
Сколько таких баранов было куплено?
Решение: Поскольку в одном алтыне 3 копейки, а в одной копейке 4 полушки, то старый баран стоит 15 * 3 + 1 = 46 копеек. Так как молодой баран стоит 10 алтын, т.е. 30 копеек, то он на 16 копеек стоит дешевле старого барана. Если бы были куплены только молодые бараны, то за них заплатили бы 3360 копеек. Поскольку за всех баранов уплатил 49 рублей и 20 алтын, или 4960 копеек, то излишек в 1600 = 4960 - 3360 копеек пошел на оплату старых баранов. Тогда старых баранов куплено 1600/16 = 100. Значит, молодых куплено 112 – 100, т.е. 12 баранов.
IV. Любопытные свойства чисел.
1. Одинаковые цифры. Если умножить число 777 на число 143, то получится шестизначное число, записываемое одними единицами;
777х143=111 111.
Если же число 777 умножить на 429, то получится 333 333, записываемое шестью тройками.
Найдите, на какие числа надо умножить число 777, чтобы получить шестизначное число, записываемые одними двойками, одними четверками, одними пятерками и т.д.
Решение: Для того чтобы получить шестизначное число, записываемое двойками, надо 777 умножить на 286. Если же мы число 777 умножим соответственно на числа 572, 715, 858, 1001, 1144, 1287, то получим числа, записываемые одними четверками, пятерками, шестерками, семерками, восьмерками, девятками. Это видно из следующего. Поскольку
777х143=111 111
143х2=286, 143х3=429, …, 143х9=1287,
то, например,
777х858=777х143х6=111 111х6=666 666,
777х1001=777х143х7=111 111х7=777 777.
Можно найти и два четырехзначных числа, произведение которых записывается восемью единицами.
Требуемое свойство имеют числа 7373 и 1507. для того чтобы найти их, надо разложить на множители число 11 111 111. Легко видеть, что
11 111 111=1111х10 001=11х101х10 001.
Числа 11 и 101 далее на множители не раскладываются. Это так называемые простые числа. Последний множитель 10 001 простым не является, но найти его разложение на простые множители не легко. Путем деления этого числа на 3, 5, 7, 11, 13, 17 и другие простые числа можно, в конце концов, найти делители числа 10 001 и разложить его. Можно значительно сократить число проб, если заметить, что каждый простой делитель обязательно должен иметь вид 8k+1. Это связано с тем, что 10 001=10 +1. Остается проверить только делимость на 17, 41, 73, 89, 97. Оказывается, что 10 001 не делится на 17, 41 и делится на 73. Так получается разложение 10 001=73х137 и
11 111 111=11х101х73х137=(101х73)х(11х137)=7373х1507.
Задачи из «Арифметики» Магницкого можно применять на уроках математики для развития логики мышления, умения рассуждать, а также в межпредметных связях с историей. Данные задачи целесообразно использовать на занятиях математического кружка, можно включать в задания математических олимпиад.
Список использованной литературы:
1. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. – М.: Изд-во «Наука», 1968.
2. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. – М.,1994.
3. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.
Математический кружок МОУ СОШ с. Атаевка
Рук. Силаева Ольга Васильевна.
Усанова Яна
Научно-исследовательская работа "Решение задачи из Арифметики Магницкого". В работе рассказывается о жизни и деятельности Леонтия Филипповича Магницкого. Рассматривается решение задачи "Кадь пития"(4 способа) и задачи на "тройное правило".
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 2 города Кузнецка
__________________________________________________________________
Решение задачи из Арифметики Магницкого
Научно-исследовательская работа
Подготовила ученица 6 класса
Усанова Я.
Руководитель: Морозова О.В.-
Учитель математики
Кузнецк, 2015
Введение………………………………………………………………………….3
1. Биография Л.Ф. Магницкого………………………………………………….4
2. Арифметика Магницкого…………………………………………………….7
3. Решение задачи «Кадь пития» из Арифметики Магницкого. Задачи на «Тройное правило»…………………………………………………………….. 11
Заключение………………………………………………………………………15
Список литературы…………………………………………………………….16
Введение
Актуальность и выбор темы моей исследовательской работы определены следующими факторами:
До появления книги Л. Ф. Магницкого «Арифметика» в России не было печатного учебника для преподавания математики;
Л. Ф. Магницкий не только систематизировал имеющиеся знания по математике, но и составил множество таблиц, ввел новые обозначения.
Цель:
- Изучение истории математики и решений задач из книги Л.Ф. Магницкого.
Задачи:
Изучить биографию Л.Ф. Магницкого и его вклад в развитие математического образования в России;
Рассмотреть содержание его учебника;
Решить задачу «Кадь пития» разными способами;
Гипотеза:
Если я изучу биографию Л.Ф. Магницкого и способы решения задач, я смогу рассказать учащимся нашей школы о роли математики в современном обществе. Это будет увлекательно и повысит интерес к изучению математики.
Методы исследования:
Изучение литературы, информации найденной в Интернете, анализ, установление связей между решениями по Л. Ф. Магницкому и современными способами решения математических задач.
- Биография Л.Ф. Магницкого
19 июня 1669 года, с тех пор уже минуло 3 века, в городе Осташкове, на земле, где берёт начало великая русская река Волга, родился мальчик. Родился он в небольшом деревянном доме, расположенном у стен Знаменского монастыря, на берегу озера Селигер. Родился он в большой крестьянской семье Теляшиных, славившейся своей религиозностью. Родился он в то время, когда на Селигерской земле расцветал монастырь Нилова пустынь. При крещении ребёнку дали имя Леонтий, что в переводе с греческого означает «львиный».
Время шло. Мальчик рос и креп духом. Он помогал отцу, «работою своих рук кормившего себя» и свою семью, а в свободное время «был страстный охотник читать в церкви мудрёное и трудное». Обычные крестьянские детишки не имели возможности иметь книги, обучаться грамоте. А отрок Леонтий имел такую возможность. Его двоюродный дед, святитель Нектарий, был вторым настоятелем и строителем Нило-Столобенской пустыни, которая возникла на месте подвигов великого русского святого преподобного Нила. За два года до рождения Леонтия были обретены мощи этого святого, и на остров Столбный, где находится пустынь, много людей стало устремляться на богомолье. Семья Теляшиных тоже ходила в это чудодейственное место. И посещая монастырь, Леонтий подолгу задерживался в монастырской библиотеке. Он читал древние рукописные книги, не замечая времени, чтение поглощало его.
Озеро Селигер богато рыбой. Как только устанавливался санный путь, обозы с замороженной рыбой отправлялись в Москву, Тверь и другие города. С этим обозом отправили юношу Леонтия. Ему тогда было около шестнадцати лет.
В монастыре поразились необычными способностями обычного крестьянского сына: он умел читать и писать, чего простые крестьяне в большинстве своём не умели. Монахи решили, что этот юноша станет хорошим чтецом и оставили у себя «для чтения». Затем Теляшина направили в Московский Симонов монастырь. Юноша и там поразил всех своими незаурядными способностями. Настоятель монастыря решил, что такому самородку нужно обучаться дальше и отправил его учиться в Славяно-греко-латинскую академию. Особый интерес у молодого человека вызывали математические задания. А так как математика тогда в академии не преподавалась, и русских математических рукописей было ограниченное количество, он изучил данный предмет, по словам сына Ивана, «дивным и неудобовероятным способом». Для этого он изучил латинский, греческий язык в академии, немецкий, голландский, итальянский самостоятельно. Изучив языки, он перечитал множество иностранных рукописей и овладел математикой настолько, что его стали приглашать в богатые семейства преподавать этот предмет.
Посещая своих учеников, Леонтий Филиппович столкнулся с проблемой. По математике, или как тогда говорили арифметике, не было для детей и юношей ни одного пособия и ни одного учебника. Молодой человек начал сам составлять примеры и интересные задачки. Объяснял он свой предмет с таким жаром, что мог заинтересовать даже самого ленивого и не желающего учиться ученика, каких немало было в богатых семьях.
Слухи о талантливом учителе донеслись до Петра I. Российскому самодержцу нужны были русские образованные люди, потому что почти все грамотные люди были выходцами из других стран. Прибыльщик Петра I, Курбатов А.А., представил царю Теляшина. Императору очень понравился молодой человек. Он был поражён его познаниями в области математики. Пётр I дал же Леонтию Филипповичу новую фамилию. Помня выражение своего духовного наставника Симеона Полоцкого «Христос, как магнит, притягивает к себе души людей», царь Пётр назвал Теляшина Магницким – человеком, который как магнит притягивает к себе знания. Царь Пётр назначил Леонтия Филипповича «российскому благородному юношеству учителем математики» в только что открывшейся Московской Навигацкой школе.
Математико – навигацкую школу Пётр открыл, а учебников не было. Тогда царь, хорошо подумав, поручил Леонтию Филипповичу написать учебник по арифметике.
Магницкий, опираясь на свои задумки для детей, на придуманные для них примеры и задачи, за два года создал самый главный труд в своей жизни – учебник по арифметике. Он его назвал «Арифметика – сиречь наука числительная». Книгу эту выпустили огромным для того времени тиражом – 2400 экземпляров.
В Навигацкой школе Леонтий Филиппович отработал учителем 38 лет – больше чем полжизни. Был он скромным человеком, радел о науке, заботился о своих учениках.
Магницкий заботился о судьбе своих учеников, ценил их талант. Зимой 1830 года к Магницкому обратился с просьбой о принятии его в Навигацкую школу молодой человек. Поразило Леонтия Филипповича то, что этот молодой человек сам выучился читать по церковным книгам и сам одолел математику по учебнику «Арифметика – сиречь наука числительная». Поразило Магницкого и то, что этот молодой человек так же, как и он сам, пришёл с рыбным обозом в Москву. Звали этого юношу Михайло Ломоносов. Оценив, какой талант перед ним, Леонтий Филиппович не оставил молодого человека в Навигацкой школе, а направил Ломоносова учиться в Славяно-греко-латинскую академию.
Магницкий был поразительно талантливым: выдающийся математик, первый русский учитель, богослов, политик, государственный деятель, сподвижник Петра, поэт, автор поэмы «Страшный суд». Скончался Магницкий в 70 лет. Его похоронили в церкви Гребневской иконы Божией Матери у Никольских ворот. Прах Магницкого обрёл покой почти на два века рядом с останками князей и графов (из родов Щербатовых, Урусовых, Толстых, Волынских).
- Арифметика Магницкого
В рассказах об инженерах Петровской эпохи часто повторяется один сюжет: получив задание от государя-императора Петра Алексеевича, они первым делом брали в руки «Арифметику» Л. Ф. Магницкого, а затем приступали к расчетам. Чтобы определить, что же находили в книге Магницкого выдающиеся русские изобретатели, заглянем в его труд. Более полувека этот фундаментальный труд Л. Ф. Магницкого не имел равных в России. Его изучали в школах, к нему обращались самые широкие круги людей, стремившихся к образованию или, как уже было отмечено, работавших над какой-либо технической проблемой. Известно, что М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого наряду с «Грамматикой» Смотрицкого «вратами своей учености».
В самом начале, в предисловии, Магницкий разъяснил значение математики для практической деятельности. Он указал на ее важность для навигации, строительства, военного дела, т. е. подчеркнул ценность этой науки для государства. Кроме того, он отметил пользу математики для купцов, ремесленников, людей всех званий, т. е. общегражданское значение данной науки. Особенность «Арифметики» Магницкого заключалась в том, что автор был уверен, что русские люди имеют большую жажду знания, что многие из них самостоятельно изучают математику. Вот для них, занятых самообразованием, Магницкий каждое правило, каждый тип задач снабдил огромным числом решенных примеров. Более того, учитывая значение математики для практической деятельности, Магницкий включил в свой труд материал по естествознанию и технике. Тем самым значение «Арифметики» вышло за границы собственно математической литературы и приобрело общекультурное влияние, вырабатывая научное мировоззрение широкого круга читателей.
«Арифметика» состоит из двух книг. Первая включает в себя пять частей и посвящена непосредственно арифметике. В этой части излагаются правила нумерации, действия над целыми числами, способы проверки. Затем идут именованные числа, которым предпослан обширный раздел о древних еврейских, греческих, римских деньгах, содержатся сведения о мерах и весах в Голландии, Пруссии, о мерах, весах и деньгах Московского государства. Даны сравнительные таблицы мер, весов, денег. Этот раздел отличается большой точность, ясностью изложения, что свидетельствует о глубокой эрудиции Магницкого.
Вторая часть посвящена дробям, третья и четвертая - «задачам на правило», пятая - основным правилам алгебраических действий, прогрессии и корням. Здесь много примеров приложения алгебры к военному и морскому делу. Заканчивается пятая часть рассмотрением действий с десятичными дробями, что было новостью в математической литературе того времени.
Стоит сказать, что в первой книге «Арифметики» немало материала из старых русских рукописных книг математического характера, что свидетельствует о культурной преемственности и имеет воспитательное значение. Широко использована автором и иностранная математическая литература. В то же время труд Магницкого характеризуется большой оригинальностью. Во-первых, весь материал расположен с систематичностью, не имевшей места в других учебных книгах. Во-вторых, существенно обновлены задачи, многие из них не встречаются в иных математических пособиях. В «Арифметике» современная нумерация окончательно вытеснила алфавитную, а старый счет (на тьмы, легионы и др.) был заменен счетом на миллионы, биллионы и т. д. Здесь же впервые в русской научной литературе утверждается идея бесконечности натурального ряда чисел, причем сделано это в стихотворной форме. Вообще в первой части «Арифметики» силлабические стихи следуют за каждым правилом. Стихи сочинены самим Магницким, что подтверждает мысль о том, что талантливый человек всегда многогранен.
Вторую книгу «Арифметики» Л. Магницкий назвал «Арифметикой астрономской». В предисловии он указал на ее необходимость для России. Без нее, утверждал он, невозможно быть хорошим инженером, геодезистом или воином и мореплавателем. Данная книга «Арифметики» состоит из трех частей. В первой части дается дальнейшее изложение алгебры, включая решение квадратных уравнений. Автор подробно разобрал несколько задач, в которых встречались линейные, квадратные и биквадратные уравнения. Во второй части приводятся решения геометрических задач на измерение площадей. Среди них - вычисление площади параллелограмма, правильных многоугольников, сегмента круга. Кроме того, показан способ вычисления объемов круглых тел. Здесь же указаны диаметр, площадь поверхности и объем Земли. В данном разделе приведены некоторые геометрические теоремы. Далее рассмотрены математические формулы, которые дают возможность вычислять тригонометрические функции различных углов. В третьей части содержатся сведения, необходимые для навигаторов: таблицы магнитных склонений, таблицы широты точек восхода и захода Солнца и Луны, координаты важнейших портов, часы приливов и отливов в них и т. д. В этой части впервые встречается русская морская терминология, не потерявшая значение до настоящего времени. Надо отметить, что в своей «Арифметике» Магницкий проделал огромную работу по совершенствованию русской научной терминологии. Именно благодаря этому выдающемуся ученому в наш математический словарь вошли такие термины, как «множитель», «произведение», «делимое и частное», «квадратное число», «среднее пропорциональное число», «пропорция», «прогрессия» и т. д.
Таким образом, понятно, почему «Арифметика» Л. Магницкого изучалась много и прилежно более полувека, почему она стала основой для ряда курсов, которые создавались и издавались позже. Выдающиеся русские изобретатели обращались к произведению Магницкого не просто как к энциклопедии, справочнику, они среди решений сотен практических задач, данных в книге, находили те, что могли дать аналогию, натолкнуть на новую плодотворную мысль, ведь эти задачи имели практическое значение, демонстрировали возможности математики в поиске хорошего технического решения.
- Решение задачи «Кадь пития» из Арифметики Магницкого. Задачи на «Тройное правило»
«Кадь пития»
Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь.
Данную задачу я нашла в электронном виде учебника «Арифметика» вместе с решением. Л.Ф. Магницкий решает ее арифметическим способом. Я же решила эту задачу 4-мя способами: два из них арифметическим, два алгебраическим.
Решение:
1-й способ.
1) 14∙5=70 (дн.)- уравняла время, за которое человек выпьет кадь пития с временем, за которое человек со женою выпьет туже кадь пития
2) 10∙7=70 (дн.)- уравняла время, за которое человек со женою выпьет кадь пития с временем, за которое человек выпьет туже кадь
3) 70:14=5 (к.)-выпьет человек за 70 дней
4) 70:10=7 (к.)-выпьет человек со женою за 70 дней
5) 7−5=2 (к.)-выпьет жена за 70 дней
6) 70:2=35 (дн.)-выпьет жена кадь пития
2-й способ
Основывается на том, что 1 кадь=839,71л ≈840л
1) 840:10=84 (л)-человек и жена выпьют за 1 день
2) 840:14=60 (л)-человек выпьет за 1день
3) 84−60=24 (л)-жена выпьет за 1 день
4) 840:24=35 (дн.)-жена выпивает за 1 день
3-й способ
1) 840:14=60 (л)-человек выпьет за 1д.
2) Пусть жена выпивает за 1 день х л., т. к. человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, составим уравнение:
(60+X)∙10=840
60+X=840:10
60+X=84
X=84−60
X=24 (л)-жена выпивает за 1день
3) 840:24=35 (дн.)-жена выпьет кадь пития
4-й способ
Пусть жена выпивает за 1 день x кади пития, т. к. за 1 день человек выпьет 1/14 кади пития, а со женою 1/10 кади пития, составим уравнение:
1) Х + 1/14 = 1/10
Х = 1/10 - 1/14
Х = (14 - 10) / 140 = 4/140 = 1/35 (кади пития)-жена выпивает за 1 день
2) 1/35∙35=35/35=1 (кадь пития)-выпивает 1 кадь пития за 35 дней
В 3-й четверти на уроках математики мы начали изучение темы прямой и обратной пропорциональной зависимостей. Эта задача непосредственно связана с данной темой. И анализируя, решение данной задачи и схожих с этой, представленных в книге Магницкого, я выяснила, что решал задачи такого типа он, с помощью очень интересного правила – « Тройное правило».
Это правило он называл строкой потому, что для механизации вычислений данные писались в строку.
Правильность решения зависит целиком от правильности записи данных задачи.
ПРАВИЛО: перемножить второе и третье число и произведение разделить на первое.
И на уроках математики мы решили проверить, а работает ли это правило на современных задачах, представленных в учебнике Н.Я. Виленкина. Сначала мы решали задачи, составляя пропорции, а затем проверяли работает ли «тройное правило». Моих одноклассников очень заинтересовало это правило, всем было удивительно, как спустя более 300 лет оно работает для современных задач. Некоторым ребятам, решение по тройному правилу казалось легче и интереснее.
Вот примеры этих задач.
№ 783. Стальной шарик объемом 6 кубических сантиметров имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5 кубических сантиметров? (прямая пропорциональность)
Решение.
По Магницкому В наше время
6 – 46,8 – 2,5 (строка)
46,8 × 2,5: 6 = 19,5 (г) х = = 19,5 (г)
Ответ: 19,5 грамм.
№ 784. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени? (прямая пропорциональность)
Решение.
По Магницкому В наше время
21 – 5,1 – 7 (строка)
5,1 × 7: 21 = 1,7 (кг) х = = 1,7 (кг)
Ответ: 1,7 кг.
За 2 рубля можно купить 6 предметов. Сколько их можно купить на 4 рубля? (прямая пропорциональность)
Решение.
По Магницкому В наше время
2 – 6 – 4 (строка)
6 × 4: 2 =12 (предметов) х = 12 (предметов)
Ответ: 12 предметов
№ 785. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту площадку? (обратная пропорциональность)
Решение.
По Магницкому В наше время
7 – 5 – 210 (строка)
210 × 5: 7 = 150 (мин) х = = 150 (мин)
Ответ: 150 мин.
№ 786. Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз? (обратная пропорциональность).
Решение.
По Магницкому В наше время
4,5 – 24 – 7,5 (строка)
24 × 7,5: 4,5 = 40 (машин) х = = 40 (машин)
Ответ: 40 машин.
В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса? (обратная пропорциональность).
Решение.
По Магницкому В наше время
3 – 6 –8 (строка)
6 × 8: 3 = 16 (косцов) х = = 16 (косцов)
Ответ: 16 косцов.
Заключение.
В процессе исследования я выяснила, что в учебнике Магницкого использованы традиции русских математических рукописей, но в нем значительно улучшена система изложения материала: вводятся определения, осуществляется плавный переход к новому, появляются новые разделы, задачи, приводятся дополнительные сведения.
Убедилась, что «Арифметика» Магницкого сыграла большую роль в распространении математических знаний в России. Недаром Ломоносов называл её «вратами учёности»;
Решила задачу из «Арифметики» Магницкого арифметическим и алгебраическим способами. Познакомилась с тройным правилом решения задач на прямую и обратную пропорциональность.
Поделилась своим опытом решения задачи со своими одноклассниками. Рассказала им о жизни и деятельности Л.Ф. Магницкого. И его великом труде учебнике «Арифметика». Смогла повысить интерес к математике.
Список литературы
1. Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: «Просвещение», 1981. .
2. Гнеденко Б.В. и др. Энциклопедический словарь юного математика.
М.: «Педагогика», 1985
3. Магницкий Л.Ф. Арифметика – электронная версия.
3. Олехник С. Н. и др. Старинные занимательные задачи – 3-е изд. – М.: «Дрофа», 2006.
4. http://www.etudes.ru/ru/mov/magn/index.php
Борзенкова Анжела, Сурков Михаил, Соколов Андрей
Авторами, учениками 7Б класса ГБОУ СОШ 134 г. СПб под руководством учителя математики Нечаевой А.Е. выполнена исселдовательская работа по теме "Арифметика Магницкого". Очная защита исследования состоялась 15.04.17 на IV научно-практической конференции учащихся Красногвардейского района Санкт-Петербурга "МИР НАУКИ" (без публикации). Настоящим действием осущетсвлена публикация работы в средствах массововй информации.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО Актуальность Актуальность выбранной темы обуславливается: возможностью знакомства с первым российским учебником по математике, историей его создания, выявления исторической значимости его появления и влияния на развитие математической науки в России.
АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО Гипотеза Арифметика Магницкого, став первым российским учебником по математике, способствовала: формированию единого подхода к изучению математики в России; увеличению числа обучающихся основам математики в России благодаря тому, что она была написана на русском языке и стала основным учебником по математике во вновь созданной Навигацкой школе; а также она стала историческим свидетельством некоторых сторон жизни граждан России начала XVIII века.
АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО ЗАДАЧИ и МЕТОДЫ исследования Задачи исследования. Сделать краткий обзор ретроспективы создания Арифметики, биографии Леонтия Филипповича Магницкого, познакомится с историей создания Арифметики и выявить степень влияния Арифметики на распространение математики в России. Методы исследования. В качестве методов исследования использовались такие общенаучные методы, как эмпирический метод, метод сравнения, обобщения.
АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО основное содержание Историческая ретроспектива возникновения Арифметики Магницкого О Леонтии Филипповиче Магницком Об учебнике Арифметика Магницкого Заключение
АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО Историческая ретроспектива возникновения Арифметики Магницкого Северная война 1700-1721 гг. – требуется много квалифицированных специалистов Учебников было мало. Не было учебников на русском языке. Были учебники на латинском, греческом, хранившиеся в «закрытых» библиотека, например, архиерейских училищ, редкие рукописи Сухарева башня – здание Навигацкой школы, созданной в 1701 году
АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО О Леонтии Филипповиче Магницком 9 июня 1669 года по старому стилю в семье крестьянина Филиппа по прозвищу Теляшин Осташковской патриархальной слободы Тверской губернии родился будущий математик Леонтий. В 1684 г. в возрасте 14 лет Леонтий был послан в Иосифо -Волоколамский монастырь. Через год игумен благословил Леонтия на учебу в Славяно-греко-латинскую академию, являвшуюся в те годы основным учебным заведением России, в которой он проучился около восьми лет. В 1700 году Петр I повелел Леонтию зваться Леонтием Филипповичем Магницким. После чего, в 1701 году, Магницкий становится государственным служащим, перед которым царь Петр I ставит задачу создания первого русскоязычного учебника математики. С этого же года и до 1739 года жизнь Л.Ф. Магницкого неразрывно связана с деятельностью Навигацкой школы, открытой Петром I в 1701 года. В 1739 году в возрасте 70 лет Л.Ф. Магницкий умер.
АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО Об учебнике арифметика магницкого Петр I повелел Л.Ф. Магницкому написать учебник математики для навигацкой школы, учрежденной 14 января 1701 года на русском языке
АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО Об учебнике арифметика магницкого
АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО выводы Учебник Арифметика Магницкого способствовал зарождению русской математической традиции преподавания математики в новом для петровских времен формате, выработке единообразного подхода к преподаванию и изучению математики Историческое з начение Арифметики Магницкого, как учебного пособия по математике, в том, что он вводит удобную, схожую с арабской, нумерацию, записывает передовые алгоритмы того времени сложения, вычитания, умножения, деления. Изложение материала опирается на решение практических задач, что позволяет использовать учебник для самообразования. Научная новизна. На каждом временном этапе сравнение современных методов образования, алгоритмов решения математических задач с приведенными в Арифметике Магницкого оправдано с научной точки зрения, так как позволяет оценить уровень эволюции математической научной мысли, уровень эволюции общего образования.
АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО источники Арифметика Магницкого. Точное воспроизведение подлинника. С приложением статьи П. Баранова. - М.: Издание П. Баранова, 1914. URL: http://elibrary.orenlib.ru/index.php?dn=down&to=open&id=1261 Беленчук Л.Н., Просвещение в эпоху Петра Первого// Отечественная и зарубежная педагогика. И. Институт стратегии развития образования Российской академии образования. - 2016. - № 3 (30) . - С. 54-68. URL: http://elibrary.ru/download/elibrary_26286817_93418862.pdf Денисов А.П., Леонтий Филиппович Магницкий (1669–1739)// М.: Просвещение. - 1967. - 143 с. Магницкий Леонтий Филиппович// Энциклопедический словарь Брокгауза и Эфрона:В 86 томах (82 т. и 4 доп.), Санкт-Петербург: 1890-1907. Малых А.Е., Данилова В.И, Леонтий Филиппович Магницкий (1669–1739)// Вестник Пермского университета, Математика. Механика. Информатика. – 2010. – Вып. 4 (4). – С. 84-94. URL: http://elibrary.ru/download/elibrary_15624452_71219613.pdf Степаненко Г.А., Арифметика Магницкого и современные учебники математики начальной школы// Таврический научный обозреватель, И. Общество с ограниченной ответственностью «Межрегиональный институт развития территорий », г. Ялта. – 2016. – 1-3 (6) – С. 38-43. URL: http://elibrary.ru/download/elibrary_25473094_94425485.pdf Тихонова О. Ю. Леонтий Филиппович Магницкий – математик и христианин // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2016. – № 3 (март). – С. 71–75. – URL: http://e-koncept.ru/2016/16053.htm Чекин А.Л., Борисова Е.В., Первый отечественный печатный учебник «Арифметика» Л.Ф. Магницкого// Журнал « Начальная школа», И. Общество с ограниченной ответственностью Издательство «Начальная школа и образование », г. Москва. – 2013. - №9. – С.12-15. URL: http://elibrary.ru/download/elibrary_21131169_20173013.pdf 9. http://museum.lomic.ru/trip.html - сайт музея М.В. Ломоносова в селе Ломоносово,
АРИФМЕТИКА МАГНИЦКОГО источники СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
Письменные памятники математических знаний русского народа мы имеем, начиная примерно с тысячного года нашего летоисчисления. Эти знания являются результатом предшествовавшего долгого развития и основаны на практических нуждах человека.
Интерес к науке на Руси проявился рано. Сохранились сведения о школах при Владимире Святославовиче и Ярославе Мудром (XI век). Уже тогда были «числолюбцы», интересовавшиеся математикой.
В древности на Руси писали числа при помощи букв славянского алфавита, над которыми ставился особый значок – титло (~). В хозяйственной жизни довольствовались сравнительно небольшими числами – так называемыми «малым счетом», который доходил до числа 10 000. Оно в самых старых памятниках называется «тьма», то есть темное число, которое нельзя ясно представить.
В дальнейшем граница малого счета была отодвинута до 108, до числа «тьма тем». Старинная рукопись по этому случаю заявляет, что «больше сего числа несть человеческому уму разумети».
Для обозначения этих больших чисел наши предки применяли оригинальный способ, не встречающийся ни у одного из известных нам народов: число единиц любого из перечисленных высших разрядов обозначалось той же буквой, что и простые единицы, но окруженной для каждого числа соответственным бордюром.
Но очень важной оставалась проблема обучения математики. Для её решения нужен был учебник, которого не существовало вплоть до XVIII века. Заинтересовавшись историей преподавания математики и изучив много исторической литературы, я пришла к выводу, что первый напечатанный учебник по преподаванию математики в России «Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык преведенная и во едино собрана и на две книги разделена. Сочинися сия книга через труды Леонтия Магницкого». Поэтому свою работу я назвала «Сначала была книга И эта книга Магницкого». В своей «Арифметике» Магницкий не только обобщил имеющиеся математические сведения, но и внес много нового в развитие математики в России.
В июне 1669 г. в семье крестьянина Осташковской слободы Тверской губернии Филиппа Теляшина родился мальчик, которого назвали Леонтием.
Уже с детских лет Леонтий стал выделяться среди сверстников многообразием интересов. Он самостоятельно научился читать, писать, считать. Желание узнать как можно больше, читать не только русские, но и иноземные рукописи и книги, побудило Леонтия изучать иностранные языки. Он самостоятельно овладел латинским, греческим, немецким и итальянским языками. Желание учиться привело его в Московскую славяно-греко-латинскую Академию.
В годы учебы в Академии он все свое свободное время посвящает изучению математики. Леонтий Теляшин тщательно изучал русские арифметические, геометрические и астрономические рукописи до XVII века и научную литературу западных стран. Знакомство с произведениями западноевропейской учебной литературы позволило ему осознать достоинства и недостатки русской рукописной литературы. Изучение математических произведений на греческом и латинских языках способствовало расширению кругозора Теляшина. Знания Леонтия Филипповича в области математики удивляли многих. Им заинтересовался и царь Петр I.
Быстрое развитие в России промышленности, торговли и военной техники требовало образованных людей. Петр I решил открыть ряд технических учебных заведений. Но этому мешало отсутствие российских учительских кадров и учебной литературы, в особенности по физике, математике, техническим дисциплинам.
При первой же встрече с Петром I Леонтий Филиппович произвел на него сильное впечатление незаурядным умственным развитием и обширными знаниями. В знак признания достоинств Леонтия Петр I пожаловал ему фамилию Магницкий, подчеркивая тем самым многочисленным противникам образования, что развитый ум и знания привлекают к человеку других людей с такой же силой, с какой магнит притягивает железо.
В январе 1701 года появился указ Петра I о создании в Москве школы математических и навигационных (мореходных) наук. Школа разместилась в Сухаревой башне и начала готовить молодых людей для несения различной военной и гражданской служб. В этой математической школе начал свою учительскую деятельность Л. Ф. Магницкий. Петр I поручает ему создание учебника по математике. Магницкий приступает к работе и в период работы над книгой получает «кормовые деньги» - раньше так называли заработную плату автора.
Леонтий Филиппович усердно работает над созданием учебника. И громадная книга называемая «Арифметика, сиречь науки числительная», увидела свет в январе 1703 года. Она и получила начало печатанию математических учебников в России.
В дальнейшем Магницкий занимается публикацией математических и астрономических таблиц. В то же время Магницкий добросовестно относится к своим преподавательским обязанностям. Начальник навигационной школы дьяк Курбатов в отчете Петру I по школе за 1703 год написал: «По 16 июля прибрано и учатся 200 человек. Англичане учат их науке чиновно, а когда временем и загуляются, или, по своему обыкновению, почасту и долго проспят. Имеем еще определенного им помоществователем Леонтия Магницкого, который непрестанно при той школе бывает и всегда имеет тщание не только к единому ученикам в науке радению, но и к иным ко добру поведениям »
В 1715г. в Петербурге была открыта Морская академия, куда перенесли обучение военным наукам. Московская же школа основное внимание стала уделять обучению учащихся арифметике, геометрии и тригонометрии. Магницкий назначается заведующим её учебной частью и старшим учителем математики. В этой московской школе Магницкий трудился до последнего своего дня. Умер в октябре 1739г. на его могиле имеется надгробная надпись: «Он научился наукам дивным и неудобовероятным способом».
Глава 2. «Арифметика» Магницкого.
2. 1 Структура и содержание учебника Л. Ф. Магницкого «Арифметика».
Книга Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная» написана славянским шрифтом на доступном языке. Книга громадная, в ней более 600 страниц большого формата. Материал оживлен стихотворными строфами и полезными советами для читателя. Хоть эту книгу и назвали просто «Арифметикой», в ней очень много неарифметического материала. Имеются разделы элементарной алгебры, геометрии, тригонометрии; тригонометрические, метеорологические, астрономические и навигационные сведения. Книгу Магницкого называли не просто учебником арифметики начала XVIII века, а энциклопедией основных знаний по математике того времени.
На титульном листе книги сказано, что она издана «ради обучения мудролюбивых российских отроков и всякого чина и возраста людей». А отроками в то время называли мальчиков-подростков. Арифметика Магницкого является не только учебником для школы, но и пособием для самообразования. Автор из собственного опыта с уверенностью заявляет, «что всяк сам может учить».
Великий русский ученый М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого «вратами своей учености». «Вратами учености» эта книга была для всех стремившихся к образованию в первой половине XVIII века. У многих людей желание всегда иметь под рукой книгу Магницкого было столь велико, что они переписывали её от руки.
В своей «Арифметике» Магницкий изложил расчеты прибылей и убытков, действия над десятичными дробями, основные алгебраические правила, учение о прогрессиях, корнях, решение квадратных уравнений. В геометрической части он приводит решение задач с применением тригонометрии. С помощью составленных им таблиц Л. Ф. Магницкий учит определять широту места по наклонению магнитной стрелки, рассчитывать время приливов и отливов для разных точек, а также дает русскую морскую терминологию.
«Арифметика» Магницкого – это отнюдь не переписывание всех накопленных до него математических сведений, многие задачи составлены самим Магницким, даны дополнительные сведения по той или иной теме, занимательные задачи и головоломки.
Кроме «Арифметики» он написал еще ряд книг по математике. Составил «Таблицы логарифмов, синусов, тангенсов и секансов к научению мудролюбивых тщателей», а в 1722 году издал «Мореходный справочник». Велика заслуга Леонтия Филипповича Магницкого перед наукой, перед отечеством.
2. 2 Слова и символы, встречающиеся в книге.
Интересно заметить, что в «Арифметике» выделено как особое действие «нумерацио, или счисление», и рассматривается оно в особом разделе. В нем говорится: «нумерация есть счисление словами всех чисел, которые изображаемы быть могут десятью такими знаками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из них девять значащих; последняя же 0, если стоит одна, то сама по себе значения не имеет. Когда же она присоединяется к какой-нибудь значащей то увеличивает в десять раз, как будет показано в дальнейшем».
Значащие цифры Магницкий именует «знаменованиями» в отличии их от нуля. Все однозначные числа автор именует «перстами». Числа, составленные из единиц и нулей (например, 10, 40, 700 и т. п.), - «суставами». Все остальные числа (12, 37, 178 и т. д.) – «сочинениями». Цифру 0 здесь он называет «низачто».
Так же Магницкий Л. Ф. впервые использовал такие термины как «множитель», «делитель», «произведение», «извлечение корня», «миллион», «биллион», «триллион», «квадриллион».
Дальше в «Арифметике» дано наименования чисел вида единицы с одним и несколькими нулями. Таблица с названиями круглых чисел доведена до числа с 24 нулями. Затем в стихотворной форме подчеркнуто «Число есть бесконечно»
В «Арифметике» Магницкого употребляются цифры современные – арабские, а год издания и нумерация листов даны в славянской нумерации. Это случилось, оттого что происходила замена устаревшей славянской нумерации на более совершенную – арабскую.
Глава 3. Из содержания старинных русских руководств по математике.
3. 1 Правило ложного положения.
Старинные русские руководства по математике, рукописные и печатные, содержат много такого, что полезно знать изучающему математику и в наше время. Расскажем о правиле ложного положения, занимательных задачах и математических забавах.
Правило ложного положения. Старые русские руководства называют способ решения задач, который теперь известен под названием правила ложного положения или иначе «фальшивым правилом».
При помощи этого правила в старинных руководствах решаются задачи, приводящие к уравнениям первой степени.
Приведем решение задачи способом ложного положения, или «фальшивым правилом», из книги Магницкого:
Спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына? Учитель ответил: если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолька и четвертая чисть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Спрашивается: сколько было у учителя учеников?
Магницкий дает такой способ решения. Делаем первое предположение: учеников было 24. Тогда по смыслу задачи к этому числу надо прибавить «столько, полстолько, четверть столько и 1», имели бы:
24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67, то есть на 100 – 67 = 33 меньше (чем требовалось по условию задачи), число 33 называем «первым отклонением».
Делаем второе предположение: учеников было 32.
Тогда имели бы:
32 + 32 + 16 + 8 + 1 = 89, то есть на 100 – 89 = 11 меньше, это «второе отклонение». На случай, если при обоих предположениях получилось меньше, дается правило: помножить первое предположение на второе отклонение, а второе предположение на первое отклонение, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность отклонений:
Учеников было 36.
Таким же правилом надо руководствоваться, если при обоих предположениях получилось больше, чем полагается по условию. Например:
Первое предположение: 52.
52 + 52 + 26 + 13 + 1 = 144.
Получили на 144 – 100 = 44 больше (первое отклонение).
Второе предположение: 40.
40 + 40 + 20 + 10 + 1 = 111. Получили на 111 – 100 = 11 больше (второе отклонение).
Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях брать не разности, а суммы.
При помощи самых начальных сведений алгебры эти правила легко обосновываются.
Я попробовала решить эту задачу, выделяя три этапа математического моделирования. Вот мое решение.
Пусть учеников в классе было х, тогда к ним пришли еще х учеников. Затем 1/2х учеников и еще 1/4х учеников, и еще один ученик.
Так как всего учеников станет 100, то получим уравнение: х+х+1/2х+1/4х+1=100
Не трудно решить это уравнение. Приведем к общему знаменателю и вычислим х. Получим х=36, т. е. в классе было 36 учеников.
Ответ: 36 учеников.
3. 2 Занимательные задачи.
В «Арифметике» Магницкого встречаются занимательные задачи. Вот одна из них: Некий человек продае коня за 156 рублев; раскаявся же, купец нача отдавати продавцу, глаголя: «Яко несть мне лепо взяти сицевого коня, недостойного такие высокие цены». Продавец предложи ину куплю, глаголя: «Аще те мнится велика цена сему коню быти, убо кипи гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвозди во всякой подкове no шести, и за един гвоздь даждь ми полушку, за другой же - две полушки, а за третий копейку, и тако все гвозди купи. Купец же, видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взяти, обещал таку цену платити, чая не больше 10 рублев за гвоздие дати. И ведательно есть, колико купец - он проторговался?
На современном русском языке это означает следующее: Один человек продал коня за 156 рублей; покупатель стал отдавать коня продавцу, говоря: «Не хорошо мне покупать этого коня, так как он недостоин столь высокой цены». Тогда продавец предложил иные условия, сказав: «Если тебе эта цена кажется слишком большой, заплати только за гвозди в подковах, а коня возьми себе в дар. Гвоздей в каждой подкове по шесть, и за первый гвоздь дай мне полушку, за второй - две полушки, за третий - копейку (то есть четыре полушки) и т. д. ». Покупатель, видя столь малую цену и желая получить коня в дар, согласился на эту цену, думая, что за гвозди придется заплатить не более 10 рублей. Требуется узнать, на сколько покупатель проторговался.
Я решила её так: если всего 4 подковы, а в каждой подкове 6 гвоздей, то 4х6=24 гвоздя – всего. Из условия задачи делаем вывод, что цену каждого гвоздя нужно увеличить в 2 раза. Решим эту задачу с помощью геометрической прогрессии. Одна полушка – это ¼ копейки. 1 гвоздь стоит ¼ копейки, 2 гвоздь ½ копейки, 3 гвоздь 1 копейку. Пусть 1 копейка – 1 член геометрической прогрессии, разность равна 2, найдем 22-ой член.
b22=b1xq21=1x221=2097152 копейки – стоит 24-ый гвоздь. Найдем стоимость всех гвоздей Sn=(bnxq-b1)/(q-1) =(2097152x2-1)/(2-1)=4194303 копейки. Значит, покупатель проторговался на 41940-10=41930 рублей.
Эта задача аналогична задаче об изобретателе игры в шахматы. В знаменитой «Божественной комедии» Данте читаем:
«Заискрилась всех тех кругов краса,
И был пожар в тех искрах необъятный;
Число же искр обильней в сотни раз,
Чем клеток счет двойной в доске шахматной».
«Счет двойной» означает нарастание чисел при помощи удвоения предыдущего числа, то есть мы имеем тут упоминание о той же старой задаче.
Она, как оказывается, встречается и в наше время не только в сборниках занимательных задач. По сообщению одной газеты 1914 года, у судьи в городе Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию: уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. Очевидно, покупатель соблазнился надеждой дешево купить. Я подсчитала, какую сумму он должен был уплатить. Используя формулу суммы геометрической прогрессии S20=b1x(q20-1)/(q-1), получим 1x(220-1)/(2-1)=1048575 копеек=10486 рублей. Оказывается, Магницкий не без основания снабдил решение своей задачи предупреждением:
«Хотяй туне притяжати.
От кого что приимати.
Да зрит то себе опасно. », то есть, если кто-нибудь соблазнится кажущейся дешевизною покупки, то он может попасть в неприятное положение.
3. 3 Математические забавы.
В «Арифметике» Магницкого забавы составляют особый раздел «О утешных некиих действах, через арифметику употребляемых». Автор пишет, что помечает его в свою книгу для утехи и, особенно для изощрения ума учащихся, хотя эти забавы, по мнению его, «и не зело нужные».
Первая забава. Один из находящихся в компании восьми человек берет кольцо и надевает на один из пальцев на определенный сустав. Требуется угадать, у кого, на каком пальце, и на каком суставе находится кольцо.
Пусть кольцо находится у четвертого человека на втором суставе пятого пальца (надо условиться, что суставы и пальцы нумеруются всеми одинаково).
В книге дается такой способ угадывания. Угадывающий просит кого-нибудь из компании сделать следующие действия, не называя получающихся чисел:
1) номер лица, имеющего кольцо, умножить на 2; спрашиваемый в уме или на бумаге выполняет: 4 ∙ 2 = 8;
2) к полученному произведению прибавить 5: 8 + 5 = 13;
3) полученную сумму умножить на 5: 13 ∙ 5 = 65;
4) к произведению прибавить номер пальца, на котором находится кольцо: 65 + 5 = 70;
5) сумму умножить на 10: 70 ∙ 10 = 700;
6) к произведению прибавить номер сустава, на котором находится кольцо: 700 + 2 = 702.
Результат объявляется угадывающему.
От полученного числа последний отнимает 250 и получает:702–250=452.
Первая цифра (идя слева направо) дает номер человека, вторая цифра - номер пальца, третья цифра - номер сустава. Кольцо находится у четвертого человека на пятом пальце на втором суставе.
Нетрудно найти для этого приема объяснение. Пусть кольцо было у человека с номером a на пальце с номером b на суставе с номером с.
Выполним указанные действия над числами а, b, с:
1) 2 ∙ а = 2а;
3) 5(2а + 5)=10а + 25;
4) 10а + 25 + b;
5) 10(10а + 25 + b) = 100а + 250 +10b;
6) 100a + 10b + 250 + c;
7) 100a + 10b + 250 + c – 250 = 100а + 10b + с.
Получили число, в котором номер человека есть цифра сотен, номер пальца - цифра десятков, номер сустава - цифра единиц. Правила игры применимы при любом числе участников.
Вторая забава. Считаем дни недели, начиная с воскресенья: первый, второй, третий и так далее до седьмого (субботы).
Кто-нибудь задумал день. Нужно угадать, какой день он задумал.
Пусть задумана пятница - шестой день. Угадывающий предлагает выполнить про себя следующие действия:
1) умножить номер задуманного дня на 2: 6 ∙ 2 = 12;
2) прибавить к произведению 5: 12 + 5 = 17;
3) умножить сумму на 5: 17 ∙ 5 = 85;
4) приписать к произведению нуль и назвать результат: 850.
От этого числа угадывающий отнимает 250 и получает: 850–250= 600.
Был задуман шестой день недели - пятница. Обоснование правила такое же, как в предыдущем случае.
Я провела эти забавы в своем классе, и ребятам они очень понравились.
Заключение.
В XVIII веке не было ни одного печатного учебника по математике, поэтому книга Л. Ф. Магницкого имела огромное значение для развития промышленности и армии, строительства и флота, образования и науки России. «Арифметика» была полезна всякому человеку: и художнику, и гребцу, о чем и говорилось выше. Но кто же, как не Магницкий смог бы столь понятно разъяснить и обобщить уже известные математические сведения, а так же добавить пояснения к той или иной теме, составить множество таблиц, найти способы и правила решения задач!?
Очень важно изучать историю развития математики, чтобы воспитать уважение к культурному наследию российской науки, что я и постаралась сделать в данной исследовательской работе «Сначала была книга И эта книга Магницкого».
Я считаю, основная цель работы достигнута, задачи решены. Я обязательно продолжу работу над данной темой, так как мне очень интересна история развития математики.
