परिमाणांची अचूक आणि अंदाजे मूल्ये. अंदाजे मूल्ये

सखालिन प्रदेश

"व्यावसायिक शाळा क्र. 13"

साठी मार्गदर्शक तत्त्वे स्वतंत्र कामविद्यार्थी

अलेक्झांड्रोव्स्क-सखलिन्स्की

परिमाणांची अंदाजे मूल्ये आणि अंदाजे त्रुटी: पद्धत दर्शविली. / कॉम्प.

GBOU NPO "व्यावसायिक शाळा क्रमांक 13", - अलेक्झांड्रोव्स्क-सखालिंस्की, 2012

गणिताचा अभ्यासक्रम शिकणाऱ्या सर्व व्यवसायांच्या विद्यार्थ्यांसाठी मार्गदर्शक तत्त्वे आहेत

चे अध्यक्ष एम.के

परिमाणांचे अंदाजे मूल्य आणि अंदाजे त्रुटी.

सराव मध्ये, आम्हाला परिमाणांची अचूक मूल्ये जवळजवळ कधीच माहित नाहीत. कोणतेही स्केल, ते कितीही अचूक असले तरीही, वजन पूर्णपणे अचूकपणे दर्शवते; कोणताही थर्मामीटर एक किंवा दुसर्या त्रुटीसह तापमान दर्शवतो; कोणतेही ammeter विद्युतप्रवाह इत्यादींचे अचूक रीडिंग देऊ शकत नाही. शिवाय, आपला डोळा मापन यंत्रांचे रीडिंग अचूकपणे वाचण्यास सक्षम नाही. म्हणून, परिमाणांच्या खऱ्या मूल्यांशी व्यवहार करण्याऐवजी, आम्हाला त्यांच्या अंदाजे मूल्यांसह कार्य करण्यास भाग पाडले जाते.

वस्तुस्थिती आहे की अ" संख्येचे अंदाजे मूल्य आहे ए , खालीलप्रमाणे लिहिले आहे:

a ≈ a" .

जर अ" प्रमाणाचे अंदाजे मूल्य आहे ए , मग फरक Δ = a - a" म्हणतात अंदाजे त्रुटी*.

* Δ - ग्रीक पत्र; वाचा: डेल्टा. पुढे आणखी एक ग्रीक अक्षर येते ε (वाचा: एप्सिलॉन).

उदाहरणार्थ, जर 3.756 क्रमांक 3.7 च्या अंदाजे मूल्याने बदलला असेल, तर त्रुटी समान असेल: Δ = 3.756 - 3.7 = 0.056. जर आपण अंदाजे मूल्य म्हणून 3.8 घेतले तर त्रुटी समान असेल: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

सराव मध्ये, अंदाजे त्रुटी बहुतेकदा वापरली जाते Δ , आणि या त्रुटीचे परिपूर्ण मूल्य | Δ | पुढील गोष्टींमध्ये आपण या अचूक मूल्याला त्रुटी म्हणू पूर्ण त्रुटी. जर पहिल्या अंदाजाची परिपूर्ण त्रुटी दुसऱ्या अंदाजाच्या परिपूर्ण त्रुटीपेक्षा कमी असेल तर एक अंदाजे दुसऱ्यापेक्षा चांगले मानले जाते. उदाहरणार्थ, 3.756 क्रमांकासाठी 3.8 अंदाजे 3.7 पेक्षा चांगले आहे कारण पहिल्या अंदाजासाठी
|Δ | = | - ०.०४४| =0.044, आणि दुसऱ्यासाठी | Δ | = |0,056| = 0,056.

क्रमांक अ" एपर्यंतε , जर या अंदाजाची परिपूर्ण त्रुटी पेक्षा कमी असेलε :

|a - a" | < ε .

उदाहरणार्थ, 3.6 हे 0.1 च्या अचूकतेसह 3.671 क्रमांकाचे अंदाजे मूल्य आहे, कारण |3.671 - 3.6| = | ०.०७१| = ०.०७१< 0,1.

त्याचप्रमाणे, - 3/2 ही संख्या - 8/5 ते 1/5 च्या आत अंदाजे मानली जाऊ शकते, कारण

< ए , ते अ" संख्याचे अंदाजे मूल्य म्हणतात ए एक गैरसोय सह.

जर अ" > ए , ते अ" संख्याचे अंदाजे मूल्य म्हणतात ए विपुल प्रमाणात.

उदाहरणार्थ, 3.6 हे 3.6 पासून गैरसोयीसह 3.671 क्रमांकाचे अंदाजे मूल्य आहे.< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

जर संख्येऐवजी आम्ही ए आणि b त्यांची अंदाजे मूल्ये जोडा अ" आणि ब" , नंतर परिणाम a" + b" बेरीजचे अंदाजे मूल्य असेल a + b . प्रश्न उद्भवतो: प्रत्येक शब्दाच्या अंदाजे अचूकतेची अचूकता ज्ञात असल्यास या निकालाच्या अचूकतेचे मूल्यांकन कसे करावे? या आणि तत्सम समस्यांचे निराकरण निरपेक्ष मूल्याच्या खालील मालमत्तेवर आधारित आहे:

|a + b | < |a | + |b |.

कोणत्याही दोन संख्यांच्या बेरजेचे परिपूर्ण मूल्य त्यांच्या निरपेक्ष मूल्यांच्या बेरजेपेक्षा जास्त नसते.

चुका

अचूक संख्या x आणि त्याच्या अंदाजे मूल्य a मधील फरक या अंदाजे संख्येची त्रुटी म्हणतात. जर हे ज्ञात असेल की | x - a |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

अंदाजे मूल्याच्या निरपेक्ष मूल्याच्या परिपूर्ण त्रुटीच्या गुणोत्तराला अंदाजे मूल्याची सापेक्ष त्रुटी म्हणतात. संबंधित त्रुटी सहसा टक्केवारी म्हणून व्यक्त केली जाते.

उदाहरण. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

खरंच,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

स्वतंत्र कामासाठी व्यायाम.

1. साधारण शासक वापरून लांबी कोणत्या अचूकतेने मोजली जाऊ शकते?

2. घड्याळ किती अचूक आहे?

3. आधुनिक इलेक्ट्रिक स्केलवर शरीराचे वजन किती अचूकतेने मोजले जाऊ शकते हे तुम्हाला माहीत आहे का?

4. अ) संख्या कोणत्या मर्यादेत समाविष्ट आहे? ए , 0.01 च्या अचूकतेसह त्याचे अंदाजे मूल्य 0.99 असल्यास?

b) संख्या कोणत्या मर्यादेत असते? ए , 0.01 च्या गैरसोयीसह त्याचे अंदाजे मूल्य 0.99 असल्यास?

c) संख्येच्या मर्यादा काय आहेत? ए , 0.01 च्या जास्त अचूकतेसह त्याचे अंदाजे मूल्य 0.99 च्या बरोबरीचे असल्यास?

५. संख्या अंदाजे किती आहे π ≈ 3.1415 चांगले आहे: 3.1 किंवा 3.2?

6. 0.01 च्या अचूकतेसह विशिष्ट संख्येचे अंदाजे मूल्य 0.1 च्या अचूकतेसह त्याच संख्येचे अंदाजे मूल्य मानले जाऊ शकते? इतर मार्ग बद्दल काय?

७. संख्या रेषेवर, संख्येशी संबंधित बिंदूची स्थिती निर्दिष्ट केली आहे ए . या ओळीवर सूचित करा:

अ) संख्येच्या अंदाजे मूल्यांशी संबंधित सर्व बिंदूंची स्थिती ए 0.1 च्या अचूकतेसह गैरसोय;

b) संख्येच्या अंदाजे मूल्यांशी संबंधित सर्व बिंदूंची स्थिती ए 0.1 च्या अचूकतेसह जादा;

c) संख्येच्या अंदाजे मूल्यांशी संबंधित सर्व बिंदूंची स्थिती ए 0.1 च्या अचूकतेसह.

8. कोणत्या बाबतीत दोन संख्यांच्या बेरजेचे परिपूर्ण मूल्य आहे:

अ) या संख्यांच्या निरपेक्ष मूल्यांच्या बेरजेपेक्षा कमी;

ब) या संख्यांच्या निरपेक्ष मूल्यांच्या बेरजेइतके?

9. असमानता सिद्ध करा:

अ) | a-b | < |a| + |b | b)* | a - b | > ||ए | - | b ||.

या सूत्रांमध्ये समान चिन्ह कधी येते?

साहित्य:

1. बाश्माकोव्ह (मूलभूत स्तर) 10-11 ग्रेड. - एम., 2012

2. बाश्माकोव्ह, 10 वी. समस्यांचा संग्रह. - एम: प्रकाशन केंद्र "अकादमी", 2008

3., मॉर्डकोविच: संदर्भ साहित्य: विद्यार्थ्यांसाठी पुस्तक - दुसरी आवृत्ती - एम.: शिक्षण, 1990

4. विश्वकोशीय शब्दकोशतरुण गणितज्ञ / कॉम्प. .-एम.: अध्यापनशास्त्र, 1989

विषय “ 9व्या वर्गात अस्खलितपणे अभ्यास केला जातो. आणि विद्यार्थी, एक नियम म्हणून, त्याची गणना करण्यासाठी कौशल्ये पूर्णपणे विकसित करत नाहीत.

पण व्यावहारिक अनुप्रयोगासह संख्येची सापेक्ष त्रुटी , तसेच निरपेक्ष त्रुटीसह, आम्ही प्रत्येक पायरीवर सामोरे जातो.

दरम्यान दुरुस्तीचे कामजाडी (सेंटीमीटरमध्ये) मोजली मी कार्पेटिंगआणि रुंदी nउंबरठा आम्हाला खालील परिणाम मिळाले:

m≈0.8 (0.1 च्या अचूकतेसह);

n≈100.0 (0.1 पर्यंत अचूक).

लक्षात घ्या की प्रत्येक मापन डेटाची परिपूर्ण त्रुटी 0.1 पेक्षा जास्त नाही.

तथापि, 0.1 हा क्रमांक 0.8 चा एक ठोस भाग आहे. कसेसंख्या 100 हे क्षुल्लक h दर्शवतेआहे. हे दर्शविते की दुसऱ्या परिमाणाची गुणवत्ता पहिल्यापेक्षा खूप जास्त आहे.

मापनाच्या गुणवत्तेचे मूल्यांकन करण्यासाठी ते वापरले जाते अंदाजे संख्येची सापेक्ष त्रुटी.

व्याख्या.

अंदाजे संख्येची सापेक्ष त्रुटी (मूल्ये) हे अंदाजे मूल्याच्या निरपेक्ष मूल्याशी परिपूर्ण त्रुटीचे गुणोत्तर आहे.

त्यांनी सापेक्ष त्रुटी टक्केवारी म्हणून व्यक्त करण्याचे मान्य केले.

उदाहरण १.

अपूर्णांक 14.7 विचारात घ्या आणि त्यास पूर्ण संख्यांमध्ये पूर्ण करा. आम्ही देखील शोधू अंदाजे संख्येची सापेक्ष त्रुटी:

14,7≈15.

सापेक्ष त्रुटीची गणना करण्यासाठी, अंदाजे मूल्याव्यतिरिक्त, नियम म्हणून, आपल्याला परिपूर्ण त्रुटी देखील माहित असणे आवश्यक आहे. परिपूर्ण त्रुटी नेहमीच ज्ञात नसते. म्हणून गणना करा अशक्य आणि या प्रकरणात, सापेक्ष त्रुटीचा अंदाज दर्शविणे पुरेसे आहे.

लेखाच्या सुरुवातीला दिलेले उदाहरण लक्षात ठेवूया. जाडी मोजमाप तेथे सूचित केले होते. मीकार्पेट आणि रुंदी nउंबरठा

मोजमापांच्या परिणामांवर आधारित मी 0.1 च्या अचूकतेसह ≈0.8. आम्ही असे म्हणू शकतो की परिपूर्ण मापन त्रुटी 0.1 पेक्षा जास्त नाही. याचा अर्थ असा की अंदाजे मूल्याने परिपूर्ण त्रुटी विभाजित केल्याचा परिणाम (आणि ही सापेक्ष त्रुटी आहे) 0.1/0.8 = 0.125 = 12.5% पेक्षा कमी किंवा समान आहे.

अशा प्रकारे, सापेक्ष अंदाजे त्रुटी ≤ 12.5% आहे.

त्याच प्रकारे, आम्ही खिडकीच्या चौकटीचा खालचा आडवा रुंदी अंदाजे संबंधित त्रुटी गणना; ते 0.1/100 = 0.001 = 0.1% पेक्षा जास्त नाही.

ते म्हणतात की पहिल्या प्रकरणात मोजमाप 12.5% पर्यंत सापेक्ष अचूकतेसह आणि दुसऱ्या बाबतीत - 0.1% पर्यंत सापेक्ष अचूकतेसह केले गेले.

चला सारांश द्या.

पूर्ण त्रुटी अंदाजे संख्या - हा फरक आहेअचूक संख्या दरम्यान xआणि त्याचे अंदाजे मूल्य a

जर फरक मोड्यूलस | x – a| काही पेक्षा कमीडी a, नंतर मूल्यडी aम्हणतात पूर्ण त्रुटी अंदाजे संख्या a.

अंदाजे संख्येची सापेक्ष त्रुटी परिपूर्ण त्रुटीचे गुणोत्तर आहेडी aसंख्येच्या मापांकापर्यंत a, म्हणजेडी a / |a| =d a .

उदाहरण २.

π≈3.14 या संख्येचे ज्ञात अंदाजे मूल्य विचारात घेऊ.

शंभर हजारव्या अचूकतेसह त्याचे मूल्य लक्षात घेऊन, आपण त्याची त्रुटी 0.00159 म्हणून दर्शवू शकता... (याने π चे अंक लक्षात ठेवण्यास मदत होईल. )

संख्या π ची परिपूर्ण त्रुटी बरोबर आहे: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

संख्या π च्या सापेक्ष त्रुटी समान आहे: 0.0016/3.14 = 0.00051 = 0.051%.

उदाहरण ३.

ते स्वतः मोजण्याचा प्रयत्न करा अंदाजे संख्येची सापेक्ष त्रुटी √2. संख्येचे अंक लक्षात ठेवण्याचे अनेक मार्ग आहेत “ वर्गमूळ 2″ पासून.

1. संख्या अचूक आणि अंदाजे आहेत. व्यवहारात आपल्याला आढळणाऱ्या संख्या दोन प्रकारच्या असतात. काही प्रमाणाचे खरे मूल्य देतात, इतर फक्त अंदाजे. प्रथम तंतोतंत म्हणतात, दुसरा - अंदाजे. बऱ्याचदा अचूक संख्याऐवजी अंदाजे संख्या वापरणे सोयीचे असते, विशेषत: बऱ्याच प्रकरणांमध्ये अचूक संख्या शोधणे अशक्य असते.

संख्यांसह ऑपरेशन्सचे परिणाम देतात: अंदाजे संख्यांसह, अंदाजे संख्या. उदाहरणार्थ. महामारी दरम्यान, सेंट पीटर्सबर्गमधील 60% रहिवासी फ्लूने ग्रस्त आहेत. हे अंदाजे 3 दशलक्ष लोक आहे. अचूक संख्या सह अचूक संख्या उदाहरणार्थ. गणित विषयावरील व्याख्यान कक्षात 65 लोक आहेत. अंदाजे संख्या उदाहरणार्थ. दिवसभरात रुग्णाच्या शरीराचे सरासरी तापमान 37.3 आहे: सकाळी: 37.2; दिवस: 36.8; संध्याकाळ 38.

अंदाजे गणनेचा सिद्धांत अनुमती देतो: 1) डेटाच्या अचूकतेची डिग्री जाणून घेणे, परिणामांच्या अचूकतेच्या डिग्रीचे मूल्यांकन करणे; 2) निकालाची आवश्यक अचूकता सुनिश्चित करण्यासाठी योग्य प्रमाणात अचूकतेसह डेटा घ्या; 3) गणना प्रक्रियेला तर्कसंगत बनवा, त्या गणनांपासून मुक्त करा ज्यामुळे निकालाच्या अचूकतेवर परिणाम होणार नाही.

1) जर टाकून दिलेल्या अंकांपैकी पहिला (डावीकडील) 5 पेक्षा कमी असेल, तर शेवटचा उर्वरित अंक बदलला जाणार नाही (खाली गोलाकार); 2) टाकून दिलेला पहिला अंक 5 पेक्षा जास्त किंवा 5 च्या बरोबरीचा असेल, तर बाकीचा शेवटचा अंक एक ने वाढवला जातो (जास्त प्रमाणात पूर्ण करणे). गोलाकार: अ) दहावी 12.34 12.3; b) शतांश पर्यंत 3.2465 3.25; १०३८.७९. c) हजारव्या ते 3.4335 3.434. ड) हजारो पर्यंत; खालील गोष्टी विचारात घेतल्या जातात:

औषधामध्ये बहुतेक वेळा मोजले जाणारे प्रमाण आहेत: वस्तुमान m, लांबी l, प्रक्रियेचा वेग v, वेळ t, तापमान t, खंड V, इ. भौतिक प्रमाण मोजणे म्हणजे त्याची तुलना एकक म्हणून घेतलेल्या एकसमान प्रमाणाशी करणे होय. मापनाची 9 एकके भौतिक प्रमाण: मूलभूत लांबी - 1 मीटर - (मीटर) वेळ - 1 से - (सेकंद) वस्तुमान - 1 किलो - (किलोग्राम) डेरिव्हेटिव्ह व्हॉल्यूम - 1 m³ - (घन मीटर) गती - 1 m/s - (मीटर प्रति सेकंद)

एककांच्या नावांचे उपसर्ग: एकाधिक उपसर्ग - 10, 100, 1000, इ. ने वाढवा. गुणा g - हेक्टो (×100) k – किलो (× 1000) M – मेगा (×) 1 किमी (किलोमीटर) 1 किलो (किलोग्राम) 1 किमी = 1000 मी = 10³ मी 1 किलो = 1000 ग्रॅम = 10³ ग्रॅम लांब संलग्नक – 10, 100, 1000, इ. ने कमी करा. वेळा d – deci (×0.1) s – सेंटी (× 0.01) m – मिली (× 0.001) 1 dm (डेसिमीटर) 1 dm = 0.1 m 1 सेमी (सेंटीमीटर) 1 सेमी = 0.01 मीटर 1 मिमी (मिलीमीटर) 1 मिमी = 0.001 मी मोठे अंतर, वस्तुमान, आकारमान, वेग इत्यादी मोजताना एकाधिक संलग्नकांचा वापर केला जातो. लहान अंतर, वेग, वस्तुमान, खंड इ. मोजताना एकाधिक संलग्नकांचा वापर केला जातो.

औषधांमध्ये रोगांचे निदान, उपचार आणि प्रतिबंध यासाठी, विविध वैद्यकीय मापन उपकरणे वापरली जातात.

थर्मामीटर. प्रथम, आपल्याला मोजमापांच्या वरच्या आणि खालच्या मर्यादा विचारात घेणे आवश्यक आहे. खालची मर्यादा किमान आहे आणि वरची मर्यादा कमाल मोजलेले मूल्य आहे. मोजलेल्या मूल्याचे अपेक्षित मूल्य अज्ञात असल्यास, "रिझर्व्ह" असलेले डिव्हाइस घेणे चांगले आहे. उदाहरणार्थ, तापमान मोजमाप गरम पाणीतुम्ही रस्त्यावर किंवा खोलीतील थर्मामीटर वापरू नये. सह डिव्हाइस शोधणे चांगले आहे वरची मर्यादा 100°C दुसरे म्हणजे, आपण मूल्य किती अचूकपणे मोजले पाहिजे हे समजून घेणे आवश्यक आहे. मापन त्रुटी भागाकार मूल्यावर अवलंबून असल्याने, अधिक अचूक मापनासाठी कमी विभाजन मूल्य असलेले उपकरण निवडले आहे.

मापन त्रुटी. विविध डायग्नोस्टिक पॅरामीटर्स मोजण्यासाठी, तुम्हाला तुमच्या स्वतःच्या डिव्हाइसची आवश्यकता आहे. उदाहरणार्थ, लांबी शासकाने मोजली जाते आणि तापमान थर्मामीटरने मोजले जाते. परंतु शासक, थर्मामीटर, टोनोमीटर आणि इतर साधने भिन्न आहेत, म्हणून कोणतेही भौतिक प्रमाण मोजण्यासाठी, आपल्याला या मोजमापासाठी योग्य असलेले डिव्हाइस निवडण्याची आवश्यकता आहे.

साधन विभागणी किंमत. एखाद्या व्यक्तीच्या शरीराचे तापमान अचूकपणे निर्धारित केले जाणे आवश्यक आहे, औषधे काटेकोरपणे परिभाषित प्रमाणात प्रशासित करणे आवश्यक आहे, म्हणून मोजमाप यंत्राच्या स्केल विभागांचे मूल्य आहे. महत्वाचे वैशिष्ट्यप्रत्येक साधन. इन्स्ट्रुमेंट डिव्हिजनच्या मूल्याची गणना करण्यासाठी नियम स्केल विभागांचे मूल्य मोजण्यासाठी, आपल्याला आवश्यक आहे: अ) स्केलवर दोन जवळच्या डिजिटाइज्ड रेषा निवडा; ब) त्यांच्यामधील विभागांची संख्या मोजा; c) निवडलेल्या स्ट्रोकच्या आजूबाजूच्या मूल्यांमधील फरक विभाजनांच्या संख्येने विभाजित करा.

साधन विभागणी किंमत. भागाकार मूल्य (५०-३०)/४=५ (मिली) भागाकार मूल्य: (४०-२०)/१०=२ किमी/ता, (२०-१०)/१०= १ ग्रॅम, (३९-१९)/१०=२ लीटर , (8-4)/10=0.4 psi, (90-50)/10= 4 तापमान, (4-2)/10=0.2 से

उपकरणांच्या विभाजनाची किंमत निश्चित करा: 16

परिपूर्ण मापन त्रुटी. कोणतेही मोजमाप करताना, चुका अपरिहार्यपणे होतात. या त्रुटी विविध कारणांमुळे होतात. सर्व घटक तीन भागांमध्ये विभागले जाऊ शकतात: अपूर्ण साधनांमुळे झालेल्या त्रुटी; अपूर्ण मापन पद्धतींमुळे झालेल्या त्रुटी; यादृच्छिक घटकांच्या प्रभावामुळे झालेल्या त्रुटी ज्या दूर केल्या जाऊ शकत नाहीत. कोणतेही प्रमाण मोजताना केवळ त्याचे मूल्यच नाही तर या मूल्यावर किती विश्वास ठेवता येईल, किती अचूक आहे हेही जाणून घ्यायचे असते. हे करण्यासाठी, आपल्याला हे माहित असणे आवश्यक आहे की प्रमाणाचे खरे मूल्य मोजलेल्या प्रमाणापेक्षा किती वेगळे असू शकते. या हेतूंसाठी, परिपूर्ण आणि सापेक्ष त्रुटींची संकल्पना सादर केली गेली आहे.

निरपेक्ष आणि सापेक्ष त्रुटी. परिपूर्ण त्रुटी दर्शवते की भौतिक प्रमाणाचे वास्तविक मूल्य मोजलेल्या प्रमाणापेक्षा किती वेगळे आहे. ते स्वतः उपकरणावर (इंस्ट्रुमेंटल एरर) आणि मापन प्रक्रियेवर (स्केल एरर) अवलंबून असते. इन्स्ट्रुमेंटल एरर इन्स्ट्रुमेंट पासपोर्टमध्ये दर्शविले जाणे आवश्यक आहे (नियमानुसार, ते इन्स्ट्रुमेंट डिव्हिजन मूल्याच्या समान आहे). मोजणी त्रुटी सहसा अर्ध्या भाग मूल्याच्या बरोबरीने घेतली जाते. अंदाजे मूल्याची परिपूर्ण त्रुटी म्हणजे फरक Δ x = |x – x 0 |, जेथे x 0 हे अंदाजे मूल्य आहे आणि x आहे अचूक मूल्यमोजलेले प्रमाण किंवा कधी कधी x ऐवजी ते A ΔA = |A – A 0 | वापरतात.

निरपेक्ष आणि सापेक्ष त्रुटी. उदाहरण. हे ज्ञात आहे की -0.333 हे -1/3 चे अंदाजे मूल्य आहे. नंतर, परिपूर्ण त्रुटीच्या व्याख्येनुसार Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0.333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. बऱ्याच व्यावहारिकदृष्ट्या महत्त्वाच्या प्रकरणांमध्ये, परिमाणाचे अचूक मूल्य अज्ञात असल्यामुळे अंदाजे अचूक त्रुटी शोधणे अशक्य आहे. तथापि, आपण एक सकारात्मक संख्या निर्दिष्ट करू शकता ज्याच्या पलीकडे ही परिपूर्ण त्रुटी असू शकत नाही. ही असमानता पूर्ण करणारी h ही कोणतीही संख्या आहे | Δ x | h याला परिपूर्ण त्रुटी मर्यादा म्हणतात.

या प्रकरणात, ते म्हणतात की x चे मूल्य अंदाजे, h पर्यंत, x 0 च्या बरोबरीचे आहे. x = x 0 ± h किंवा x 0 - h x x 0 + h

मोजमाप यंत्रांच्या परिपूर्ण इंस्ट्रुमेंटल त्रुटी

मोजलेल्या परिमाणांच्या साधन त्रुटींचा अंदाज. बहुतेक मोजमाप यंत्रांसाठी, इन्स्ट्रुमेंट त्रुटी त्याच्या विभागणीच्या मूल्याप्रमाणे असते. अपवाद म्हणजे डिजिटल उपकरणे आणि डायल गेज. डिजिटल साधनांसाठी, त्रुटी त्यांच्या पासपोर्टमध्ये दर्शविली जाते आणि सहसा इन्स्ट्रुमेंटच्या विभाजन मूल्यापेक्षा कित्येक पट जास्त असते. पॉइंटर मापन यंत्रांसाठी, त्रुटी त्यांच्या अचूकतेच्या वर्गाद्वारे निर्धारित केली जाते, जी डिव्हाइसच्या स्केलवर दर्शविली जाते आणि मोजमाप मर्यादा. अचूकता वर्ग इन्स्ट्रुमेंट स्केलवर कोणत्याही फ्रेम्सने वेढलेला नसलेली संख्या म्हणून दर्शविला जातो. उदाहरणार्थ, दर्शविलेल्या आकृतीमध्ये, दाब मापकाचा अचूकता वर्ग 1.5 आहे. अचूकता वर्ग दर्शवितो की इन्स्ट्रुमेंटची त्रुटी त्याच्या मोजमाप मर्यादेपासून किती टक्के आहे. डायल प्रेशर गेजसाठी, मापन मर्यादा अनुक्रमे 3 एटीएम आहे, दाब मोजण्यात त्रुटी 3 एटीएमच्या 1.5% आहे, म्हणजेच 0.045 एटीएम. हे लक्षात घेतले पाहिजे की बहुतेक पॉइंटर उपकरणांसाठी त्यांची त्रुटी इन्स्ट्रुमेंट विभागाच्या मूल्याच्या बरोबरीची आहे. आमच्या उदाहरणाप्रमाणे, जेथे बॅरोमीटर विभागाची किंमत 0.05 एटीएम आहे.

निरपेक्ष आणि सापेक्ष त्रुटी. खरे मूल्य कोणत्या श्रेणीमध्ये कमी होऊ शकते हे निर्धारित करण्यासाठी परिपूर्ण त्रुटी आवश्यक आहे, परंतु संपूर्ण परिणामाच्या अचूकतेचे मूल्यांकन करण्यासाठी ते फारसे सूचक नाही. शेवटी, 1 मिमीच्या त्रुटीसह 10 मीटर लांबीचे मोजमाप करणे नक्कीच खूप अचूक आहे, तर 1 मिमीच्या त्रुटीसह 2 मिमी लांबी मोजणे अत्यंत चुकीचे आहे. परिपूर्ण मापन त्रुटी सामान्यतः एका महत्त्वपूर्ण आकृती ΔA 0.17 0.2 पर्यंत पूर्ण केली जाते. मापन परिणामाचे संख्यात्मक मूल्य गोलाकार केले जाते जेणेकरून त्याचा शेवटचा अंक त्रुटी अंक A = 10.332 10.3 सारख्याच अंकात असेल

निरपेक्ष आणि सापेक्ष त्रुटी. निरपेक्ष त्रुटीबरोबरच, सापेक्ष त्रुटीचा विचार करण्याची प्रथा आहे, जी परिमाणाच्या मूल्याच्या परिपूर्ण त्रुटीच्या गुणोत्तराइतकी आहे. अंदाजे संख्येची सापेक्ष त्रुटी ही अंदाजे संख्येच्या निरपेक्ष त्रुटीचे गुणोत्तर आहे: E = Δx. 100% x 0 सापेक्ष त्रुटी दर्शवते की मूल्याच्या किती टक्के त्रुटी येऊ शकते आणि प्रायोगिक परिणामांच्या गुणवत्तेचे मूल्यांकन करण्याचे सूचक आहे.

उदाहरण. केशिकाची लांबी आणि व्यास मोजताना, आम्हाला l = (10.0 ± 0.1) सेमी, d = (2.5 ± 0.1) मिमी मिळाले. यापैकी कोणते माप अधिक अचूक आहे? केशिकाची लांबी मोजताना, 10 मिमी प्रति 100 मिमीची परिपूर्ण त्रुटी अनुमत आहे, म्हणून परिपूर्ण त्रुटी 10/100 = 0.1 = 10% आहे. केशिका व्यास मोजताना, अनुज्ञेय परिपूर्ण त्रुटी 0.1/2.5=0.04=4% आहे म्हणून, केशिका व्यासाचे मोजमाप अधिक अचूक आहे.

बर्याच प्रकरणांमध्ये, परिपूर्ण त्रुटी आढळू शकत नाही. त्यामुळे सापेक्ष त्रुटी. परंतु आपण संबंधित त्रुटीची मर्यादा शोधू शकता. कोणतीही संख्या δ असमानतेचे समाधान करणारी | Δ x | / | x o | δ ही सापेक्ष त्रुटी मर्यादा आहे. विशेषतः, जर h ही परिपूर्ण त्रुटी मर्यादा असेल, तर संख्या δ= h/| x o |, अंदाजे x o च्या सापेक्ष त्रुटीची मर्यादा आहे. येथून. सीमा सापेक्ष p-i जाणून घेणे. δ तुम्ही अचूक त्रुटी मर्यादा h शोधू शकता. h = δ | x o |

उदाहरण. हे ज्ञात आहे की 2=1.41... अंदाजे समानतेची सापेक्ष अचूकता किंवा अंदाजे समानतेची सापेक्ष त्रुटी मर्यादा शोधा 2 1.41. येथे x = 2, x o = 1.41, Δ x = 2-1.41. स्पष्टपणे 0 Δ x 1.42-1.41=0.01 Δ x/ x o 0.01/1.41=1/141, परिपूर्ण त्रुटी मर्यादा 0.01 आहे, सापेक्ष त्रुटी मर्यादा 1/141 आहे

उदाहरण. स्केलवरून वाचन वाचताना, हे महत्वाचे आहे की तुमची नजर डिव्हाइसच्या स्केलवर लंब असेल, या प्रकरणात त्रुटी कमी असेल. थर्मामीटर वाचन निश्चित करण्यासाठी: 1. भागांची संख्या निश्चित करा, 2. भागाकार किमतीने त्यांना गुणा 3. त्रुटी लक्षात घ्या 4. अंतिम निकाल लिहा. t = 20 °C ± 1.5 °C याचा अर्थ तापमान 18.5° ते 21.5° पर्यंत असते. म्हणजेच, ते असू शकते, उदाहरणार्थ, 19, 20 किंवा 21 अंश सेल्सिअस. मोजमापांची अचूकता वाढवण्यासाठी, त्यांची किमान तीन वेळा पुनरावृत्ती करण्याची आणि मोजलेल्या मूल्याच्या सरासरी मूल्याची गणना करण्याची प्रथा आहे.

सरासरी मूल्य मापन परिणाम शोधणे C 1 = 34.5 C 2 = 33.8 C 3 = 33.9 C 4 = 33 .5 C 5 = 54.2 a) av = (c 1 + c 2 + c 3 + c सह चार प्रमाणांचे सरासरी मूल्य शोधा. 4): 4 c av = (34.5 + 33.8 + 33.9 + 33 ,5):4 = 33.925 33.9 b) सरासरी मूल्यापासून मूल्याचे विचलन शोधा Δс = | c – c cp | Δc 1 = | c 1 – c cp | = | ३४.५ – ३३.९ | = 0.6 Δc 2 = | c 2 – c cp | = | ३३.८ – ३३.९ | = 0.1 Δc 3 = | c 3 – c cp | = | ३३.९ – ३३.९ | = 0 Δc 4 = | c 4 – c cp | = | ३३.५ – ३३.९ | = ०.४

C) Δc = (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc = (0.6 + 0.4) :4 = 0.275 0.3 g) आपण सापेक्ष त्रुटी शोधू या δ = Δс: s CP δ = (0.3: 33.9) 100% = 0.9% e) चला अंतिम उत्तर लिहू c = 33.9 ± 0.3 δ = 0.9%

गृहपाठ व्याख्यान सामग्रीवर आधारित व्यावहारिक धड्याची तयारी करा. कार्य पूर्ण करा. सरासरी मूल्य आणि त्रुटी शोधा: a 1 = 3.685 a 2 = 3.247 a 3 = 3.410 a 4 = 3.309 a 5 = 3.392. या विषयांवर सादरीकरणे तयार करा: “औषधातील प्रमाणांचे प्रमाण”, “मापन त्रुटी”, “वैद्यकीय मोजमाप उपकरणे”

बहुतेक प्रकरणांमध्ये, समस्यांमधील संख्यात्मक डेटा अंदाजे असतो. कार्य परिस्थितींमध्ये, अचूक मूल्ये देखील येऊ शकतात, उदाहरणार्थ, लहान संख्येच्या वस्तू मोजण्याचे परिणाम, काही स्थिरांक इ.

संख्येचे अंदाजे मूल्य दर्शविण्यासाठी, अंदाजे समानता चिन्ह वापरा; याप्रमाणे वाचा: “अंदाजे समान” (वाचू नये: “अंदाजे समान”).

संख्यात्मक डेटाचे स्वरूप समजून घेणे महत्वाचे आहे तयारीचा टप्पाकोणतीही समस्या सोडवताना.

खालील मार्गदर्शक तत्त्वे तुम्हाला अचूक आणि अंदाजे संख्या ओळखण्यात मदत करू शकतात:

अचूक मूल्ये	अंदाजे मूल्ये
1. मापनाच्या एका युनिटमधून दुसऱ्या युनिटमध्ये संक्रमणासाठी अनेक रूपांतरण घटकांची मूल्ये (1m = 1000 मिमी; 1h = 3600 s) अनेक रूपांतरण घटक मोजले गेले आहेत आणि त्यांची गणना अशा उच्च (मेट्रोलॉजिकल) अचूकतेसह केली गेली आहे की ते आता व्यावहारिकदृष्ट्या अचूक मानले जाते.	1. टेबल्समध्ये दिलेली गणितीय प्रमाणांची बहुतेक मूल्ये (मूळ, लॉगरिदम, मूल्ये त्रिकोणमितीय कार्ये, तसेच नैसर्गिक लॉगरिदमची संख्या आणि बेसची व्यावहारिक मूल्ये (संख्या e))
2. स्केल घटक.	जर, उदाहरणार्थ, हे ज्ञात आहे की स्केल 1:10000 आहे, तर 1 आणि 10000 संख्या अचूक मानल्या जातात.
1 सेमी 4 मीटर आहे असे दर्शविल्यास, 1 आणि 4 ही अचूक लांबीची मूल्ये आहेत.	2. मापन परिणाम.
(काही मूलभूत स्थिरांक: व्हॅक्यूममधील प्रकाशाचा वेग, गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, इलेक्ट्रॉनचे चार्ज आणि वस्तुमान इ.) भौतिक प्रमाणांची सारणीबद्ध मूल्ये (पदार्थाची घनता, वितळणे आणि उकळणारे बिंदू इ.) वातावरणाचा दाब 101325 Pa)
5. गुणांक आणि घातांक भौतिक आणि गणितीय सूत्रांमध्ये आढळतात (; %; इ.).
6. वस्तू मोजण्याचे परिणाम (बॅटरीमधील बॅटरीची संख्या; कारखान्याने उत्पादित केलेल्या दुधाच्या कार्टनची संख्या आणि फोटोइलेक्ट्रिक मीटरने मोजली जाते)
7. परिमाणांची दिलेली मूल्ये (उदाहरणार्थ, "1 आणि 4 मीटर लांबीच्या पेंडुलमच्या दोलनाचे कालखंड शोधा" या समस्येमध्ये 1 आणि 4 ही संख्या पेंडुलमच्या लांबीची अचूक मूल्ये मानली जाऊ शकते)

अंमलात आणा खालील कार्ये, तुमचे उत्तर टेबलच्या स्वरूपात फॉरमॅट करा:

1. दिलेल्या मूल्यांपैकी कोणती मूल्ये अचूक आहेत आणि कोणती अंदाजे आहेत ते दर्शवा:

1) पाण्याची घनता (4 C)……………………………………………………………… 1000kg/m3

2) ध्वनीचा वेग (0 C)………………………………………….332 मी/से

3) विशिष्ट उष्णताहवा ………………………………1.0 kJ/(kg∙K)

४) पाण्याचा उत्कलन बिंदू ……………………………………………….१०० से

5) एव्होगाड्रोचा स्थिरांक …………………………………………..…..6.02∙10 23 mol -1

6) ऑक्सिजनचे सापेक्ष अणू वस्तुमान…………………………………..१६

2. खालील समस्यांमध्ये अचूक आणि अंदाजे मूल्ये शोधा:

1) यू वाफेचे इंजिनएक कांस्य स्पूल, ज्याची लांबी आणि रुंदी अनुक्रमे 200 आणि 120 मिमी आहे, 12 एमपीएचा दाब अनुभवतो. सिलेंडरच्या कास्ट आयर्न पृष्ठभागावर स्पूल हलविण्यासाठी आवश्यक असलेले बल शोधा. घर्षण गुणांक 0.10 आहे.

2) खालील खुणा वापरून विद्युत दिव्याच्या फिलामेंटचा प्रतिकार निश्चित करा: “220V, 60 W.”

3. खालील समस्या सोडवताना आम्हाला कोणती उत्तरे - अचूक किंवा अंदाजे - मिळतील?

1) 15 व्या सेकंदाच्या शेवटी मुक्तपणे पडणाऱ्या शरीराचा वेग किती आहे, हे गृहीत धरून वेळ मध्यांतर अचूकपणे निर्दिष्ट केले आहे?

2) जर पुलीचा व्यास 300 मिमी असेल आणि फिरण्याचा वेग 10 आरपीएस असेल तर त्याचा वेग किती असेल? डेटा अचूक असल्याचे विचारात घ्या.

3) शक्तीचे मापांक निश्चित करा. स्केल 1 सेमी - 50N.

4) झुकलेल्या विमानावर स्थित असलेल्या शरीरासाठी स्थिर घर्षण गुणांक निश्चित करा जर शरीर उताराच्या बाजूने = 0.675 वर सरकण्यास सुरुवात झाली, तर विमानाचा झुकण्याचा कोन कुठे आहे.

परिचय

पूर्ण त्रुटी- परिपूर्ण मापन त्रुटीचा अंदाज आहे. गणना केली वेगवेगळ्या प्रकारे. गणना पद्धत यादृच्छिक व्हेरिएबलच्या वितरणाद्वारे निर्धारित केली जाते. त्यानुसार, यादृच्छिक व्हेरिएबलच्या वितरणावर अवलंबून निरपेक्ष त्रुटीची परिमाण भिन्न असू शकते. जर मोजलेले मूल्य असेल आणि ते खरे मूल्य असेल, तर असमानता 1 च्या जवळ असलेल्या एका विशिष्ट संभाव्यतेसह समाधानी असणे आवश्यक आहे. जर यादृच्छिक चल सामान्य कायद्यानुसार वितरीत केले गेले, तर त्याचे मानक विचलन सामान्यतः परिपूर्ण त्रुटी म्हणून घेतले जाते. परिमाण प्रमाणेच एककांमध्ये परिपूर्ण त्रुटी मोजली जाते.

परिमाण लिहिण्याचे अनेक मार्ग आहेत ज्यात त्याच्या परिपूर्ण त्रुटी आहेत.

· सहसा ± चिन्हासह नोटेशन वापरले जाते. उदाहरणार्थ, 1983 मध्ये सेट केलेला 100 मीटर रेकॉर्ड आहे ९.९३०±०.००५ से.

खूप सह मोजलेले प्रमाण रेकॉर्ड करण्यासाठी उच्च अचूकता, भिन्न नोटेशन वापरले जाते: मॅन्टिसाच्या शेवटच्या अंकांच्या त्रुटीशी संबंधित संख्या कंसात जोडल्या जातात. उदाहरणार्थ, बोल्टझमनच्या स्थिरांकाचे मोजलेले मूल्य आहे 1.380 6488 (13)?10 ?23 J/K, जे म्हणून खूप लांब लिहिले जाऊ शकते 1.380 6488?10 ?23 ±0.000 0013?10 ?23 J/K.

सापेक्ष त्रुटी- मोजमाप त्रुटी, मोजलेल्या मूल्याच्या वास्तविक किंवा सरासरी मूल्याच्या परिपूर्ण मापन त्रुटीचे गुणोत्तर म्हणून व्यक्त केले जाते (RMG 29-99):.

सापेक्ष त्रुटी ही परिमाण नसलेली मात्रा आहे किंवा टक्केवारी म्हणून मोजली जाते.

अंदाजे

जादा आणि अपुरा सह? गणनेच्या प्रक्रियेत, एखाद्याला अनेकदा अंदाजे संख्यांचा सामना करावा लागतो. द्या ए- एका विशिष्ट प्रमाणाचे अचूक मूल्य, यापुढे म्हणतात अचूक संख्या A.अंदाजे मूल्य अंतर्गत अ,किंवा अंदाजे संख्यानंबर म्हणतात ए, प्रमाणाचे अचूक मूल्य बदलणे ए.जर ए< अ,ते एसंख्याचे अंदाजे मूल्य म्हणतात आणि अभावासाठी.जर ए> अ,- ते जास्त करून.उदाहरणार्थ, 3.14 ही संख्या अंदाजे आहे आरकमतरतेने, आणि 3.15 जादा. या अंदाजे अचूकतेची डिग्री दर्शवण्यासाठी, संकल्पना वापरली जाते चुकाकिंवा चुका

अचूकता डी एअंदाजे संख्या एफॉर्मचा फरक म्हणतात

डी a = अ-अ,

कुठे ए- संबंधित अचूक संख्या.

आकृतीवरून असे दिसून येते की खंड AB ची लांबी 6 सेमी आणि 7 सेमी दरम्यान आहे.

याचा अर्थ असा की 6 हे AB खंडाच्या लांबीचे अंदाजे मूल्य आहे (सेंटीमीटरमध्ये) > कमतरतेसह आणि 7 हे जास्तीचे आहे.

y अक्षराने सेगमेंटची लांबी दर्शविल्यास, आम्हाला मिळते: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина विभाग AB (चित्र 149 पहा) हे 7 सेमी पेक्षा 6 सेमी जवळ आहे ते म्हणतात की 6 हा खंडाच्या लांबीला पूर्ण संख्यांशी गोलाकार करून मिळाला आहे.

आपल्याला खालील सामग्रीमध्ये स्वारस्य असू शकते