pi अक्षराने कोणते गुणोत्तर दर्शवले जाते? Pi क्रमांकाचा शोध कोणी लावला? गणनेचा इतिहास

Pi समान काय आहे?आम्हाला शाळेपासून माहित आहे आणि आठवते. हे 3.1415926 च्या बरोबरीचे आहे आणि असेच... सामान्य माणसालावर्तुळाच्या परिघाला त्याच्या व्यासाने भागून ही संख्या प्राप्त होते हे जाणून घेणे पुरेसे आहे. परंतु बर्याच लोकांना माहित आहे की Pi ही संख्या केवळ गणित आणि भूमितीच्याच नव्हे तर भौतिकशास्त्रात देखील अनपेक्षित भागात दिसून येते. बरं, जर तुम्ही या संख्येच्या स्वरूपाच्या तपशिलांचा सखोल अभ्यास केलात, तर तुम्हाला संख्यांच्या अंतहीन मालिकेतील अनेक आश्चर्यकारक गोष्टी लक्षात येतील. हे शक्य आहे की पाई विश्वाची सर्वात खोल रहस्ये लपवत आहे?

अनंत संख्या

Pi ही संख्या आपल्या जगात एका वर्तुळाची लांबी म्हणून दिसते ज्याचा व्यास एक आहे. परंतु, Pi च्या बरोबरीचा विभाग पुरेसा मर्यादित असूनही, Pi ही संख्या 3.1415926 पासून सुरू होते आणि कधीही पुनरावृत्ती न होणाऱ्या संख्यांच्या पंक्तींमध्ये अनंतापर्यंत जाते. पहिली आश्चर्यकारक वस्तुस्थिती अशी आहे की भूमितीमध्ये वापरली जाणारी ही संख्या पूर्ण संख्यांचा अपूर्णांक म्हणून व्यक्त केली जाऊ शकत नाही. दुसऱ्या शब्दांत, तुम्ही ते दोन संख्या a/b चे गुणोत्तर म्हणून लिहू शकत नाही. शिवाय, Pi ही संख्या अतींद्रिय आहे. याचा अर्थ असा की पूर्णांक गुणांक असलेले कोणतेही समीकरण (बहुपदी) नाही ज्याचे समाधान Pi ही संख्या असेल.

पाई ही संख्या अतींद्रिय आहे हे जर्मन गणितज्ञ वॉन लिंडेमन यांनी १८८२ मध्ये सिद्ध केले होते. हाच पुरावा होता जो होकायंत्र आणि शासक वापरून ज्याचे क्षेत्रफळ दिलेल्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाइतके असेल असा चौरस काढणे शक्य आहे का या प्रश्नाचे उत्तर बनले. या समस्येला वर्तुळाचे वर्गीकरण करण्याचा शोध म्हणून ओळखले जाते, ज्याने प्राचीन काळापासून मानवतेला चिंतित केले आहे. असे वाटले की या समस्येवर एक सोपा उपाय आहे आणि तो सोडवला जाणार आहे. परंतु Pi या संख्येच्या अनाकलनीय गुणधर्मामुळे वर्तुळाचे वर्गीकरण करण्याच्या समस्येवर कोणताही उपाय नसल्याचे दिसून आले.

किमान साडेचार सहस्रकांहून अधिक काळ मानवता अधिकाधिक मिळवण्याचा प्रयत्न करत आहे अचूक मूल्यपाई क्रमांक. उदाहरणार्थ, बायबलमधील थर्ड बुक ऑफ किंग्स (७:२३) मध्ये, Pi ही संख्या ३ मानली जाते.

गिझा पिरॅमिड्समध्ये उल्लेखनीय अचूकतेचे Pi मूल्य आढळू शकते: पिरॅमिडच्या परिमिती आणि उंचीचे गुणोत्तर 22/7 आहे. हा अपूर्णांक 3.142 च्या बरोबरीचे Pi चे अंदाजे मूल्य देतो... जोपर्यंत, अर्थातच, इजिप्शियन लोकांनी अपघाताने हे गुणोत्तर सेट केले नाही. महान आर्किमिडीजने ख्रिस्तपूर्व तिसऱ्या शतकात Pi क्रमांकाच्या गणनेच्या संबंधात समान मूल्य आधीच प्राप्त केले होते.

प्राचीन इजिप्शियन गणिताच्या पाठ्यपुस्तकात अह्म्सच्या पॅपिरसमध्ये 1650 बीसी, Pi ची गणना 3.160493827 म्हणून केली जाते.

इ.स.पूर्व 9व्या शतकाच्या आसपासच्या प्राचीन भारतीय ग्रंथांमध्ये, सर्वात अचूक मूल्य 339/108 या संख्येने व्यक्त केले गेले होते, जे 3.1388 च्या बरोबरीचे होते...

आर्किमिडीज नंतर जवळजवळ दोन हजार वर्षे लोकांनी पाईची गणना करण्याचे मार्ग शोधण्याचा प्रयत्न केला. त्यापैकी प्रसिद्ध आणि अज्ञात असे दोन्ही गणितज्ञ होते. उदाहरणार्थ, रोमन वास्तुविशारद मार्कस विट्रुव्हियस पोलिओ, इजिप्शियन खगोलशास्त्रज्ञ क्लॉडियस टॉलेमी, चिनी गणितज्ञ लियू हुई, भारतीय ऋषी आर्यभट्ट, पिसाचे मध्ययुगीन गणितज्ञ लिओनार्डो, फिबोनाची म्हणून ओळखले जाणारे अरब शास्त्रज्ञ अल-ख्वारीझमी, ज्यांच्या नावावरून हा शब्द तयार झाला. "अल्गोरिदम" दिसू लागले. ते सर्व आणि इतर अनेक लोक Pi ची गणना करण्यासाठी सर्वात अचूक पद्धती शोधत होते, परंतु 15 व्या शतकापर्यंत त्यांना गणनांच्या जटिलतेमुळे 10 दशांश पेक्षा जास्त स्थान मिळाले नाही.

अखेरीस, 1400 मध्ये, संगमग्राममधील भारतीय गणितज्ञ माधव यांनी 13 अंकांच्या अचूकतेने Pi ची गणना केली (जरी शेवटच्या दोनमध्ये तो अजूनही चुकला होता).

वर्णांची संख्या

17 व्या शतकात, लीबनिझ आणि न्यूटन यांनी असीम प्रमाणांचे विश्लेषण शोधून काढले, ज्यामुळे पॉवर सिरीज आणि इंटिग्रल्सद्वारे - अधिक प्रगतीशीलपणे Pi ची गणना करणे शक्य झाले. न्यूटनने स्वतः 16 दशांश स्थानांची गणना केली, परंतु त्याचा उल्लेख त्याच्या पुस्तकांमध्ये केला नाही - हे त्याच्या मृत्यूनंतर ज्ञात झाले. न्यूटनने दावा केला की त्याने कंटाळवाणेपणामुळे पाईची गणना केली.

त्याच वेळी, इतर कमी ज्ञात गणितज्ञ देखील पुढे आले आणि त्रिकोणमितीय फंक्शन्सद्वारे Pi संख्या मोजण्यासाठी नवीन सूत्रे प्रस्तावित केली.

उदाहरणार्थ, हे 1706 मध्ये खगोलशास्त्राचे शिक्षक जॉन मशीन यांनी Pi ची गणना करण्यासाठी वापरलेले सूत्र आहे: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). विश्लेषणात्मक पद्धतींचा वापर करून, मशिनने या सूत्रातून शंभर दशांश स्थानांपर्यंत Pi संख्या काढली.

तसे, त्याच 1706 मध्ये, पाई नंबरला फॉर्ममध्ये अधिकृत पद प्राप्त झाले ग्रीक पत्र: विल्यम जोन्सने ग्रीक शब्द "परिफेरी" चे पहिले अक्षर घेऊन, ज्याचा अर्थ "वर्तुळ" आहे, गणितावरील त्यांच्या कार्यात याचा वापर केला. 1707 मध्ये जन्मलेल्या महान लिओनहार्ड यूलरने हे पद लोकप्रिय केले, जे आता कोणत्याही शाळकरी मुलासाठी ओळखले जाते.

संगणकाच्या युगापूर्वी, गणितज्ञांनी शक्य तितक्या चिन्हे मोजण्यावर लक्ष केंद्रित केले. या संदर्भात, कधीकधी मजेदार गोष्टी उद्भवल्या. हौशी गणितज्ञ डब्ल्यू. शँक्स यांनी 1875 मध्ये Pi चे 707 अंक काढले. ही सातशे चिन्हे 1937 मध्ये पॅरिसमधील पॅलेस डे डिस्कव्हरीजच्या भिंतीवर अमर झाली. तथापि, नऊ वर्षांनंतर, निरीक्षक गणितज्ञांनी शोधून काढले की केवळ पहिल्या 527 वर्णांची अचूक गणना केली गेली. त्रुटी दूर करण्यासाठी संग्रहालयाला महत्त्वपूर्ण खर्च करावा लागला - आता सर्व आकडे बरोबर आहेत.

जेव्हा संगणक दिसू लागले, तेव्हा Pi च्या अंकांची संख्या पूर्णपणे अकल्पनीय क्रमाने मोजली जाऊ लागली.

पहिल्या इलेक्ट्रॉनिक संगणकांपैकी एक, 1946 मध्ये तयार केलेला ENIAC, आकाराने प्रचंड होता आणि त्याने इतकी उष्णता निर्माण केली की खोली 50 अंश सेल्सिअस पर्यंत गरम होते, Pi चे पहिले 2037 अंक काढले. या गणनासाठी मशीनला 70 तास लागले.

जसजसे संगणक सुधारत गेले, तसतसे आमचे Pi चे ज्ञान पुढे आणि पुढे अनंतात गेले. 1958 मध्ये, संख्येचे 10 हजार अंक काढले गेले. 1987 मध्ये, जपानी लोकांनी 10,013,395 वर्णांची गणना केली. 2011 मध्ये, जपानी संशोधक शिगेरू होंडो यांनी 10 ट्रिलियन कॅरेक्टर मार्क ओलांडले.

आपण पाईला आणखी कुठे भेटू शकता?

त्यामुळे, Pi या संख्येबद्दलचे आपले ज्ञान शालेय स्तरावरच राहते, आणि आम्हाला निश्चितपणे माहित आहे की ही संख्या प्रामुख्याने भूमितीमध्ये न बदलता येणारी आहे.

वर्तुळाच्या लांबी आणि क्षेत्रफळाच्या सूत्रांव्यतिरिक्त, लंबवर्तुळाकार, गोलाकार, शंकू, सिलेंडर्स, लंबवर्तुळाकार इत्यादींच्या सूत्रांमध्ये Pi संख्या वापरली जाते: काही ठिकाणी सूत्रे सोपी आणि लक्षात ठेवण्यास सोपी असतात, परंतु इतरांमध्ये ते अतिशय जटिल अविभाज्य असतात.

मग आपण गणितीय सूत्रांमधील Pi संख्या पूर्ण करू शकतो, जिथे, पहिल्या दृष्टीक्षेपात, भूमिती दिसत नाही. उदाहरणार्थ, 1/(1-x^2) चे अनिश्चित पूर्णांक Pi च्या बरोबरीचे आहे.

Pi चा वापर अनेकदा मालिका विश्लेषणात केला जातो. उदाहरणार्थ, येथे एक साधी शृंखला आहे जी Pi वर एकत्रित होते:

१/१ – १/३ + १/५ – १/७ + १/९ –…. = PI/4

या मालिकेतील, Pi सर्वात अनपेक्षितपणे प्रसिद्ध Riemann zeta फंक्शनमध्ये दिसते. थोडक्यात याबद्दल बोलणे अशक्य आहे, आपण असे म्हणूया की एखाद्या दिवशी Pi ही संख्या मूळ संख्यांची गणना करण्यासाठी एक सूत्र शोधण्यात मदत करेल.

आणि अगदी आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे: Pi हे गणिताच्या दोन सर्वात सुंदर "रॉयल" सूत्रांमध्ये दिसते - स्टर्लिंगचे सूत्र (जे फॅक्टोरियल आणि गॅमा फंक्शनचे अंदाजे मूल्य शोधण्यात मदत करते) आणि यूलरचे सूत्र (जे पाच गणितीय स्थिरांकांना जोडते).

तथापि, संभाव्यता सिद्धांतातील गणितज्ञांना सर्वात अनपेक्षित शोध वाट पाहत होता. Pi हा क्रमांकही तिथे आहे.

उदाहरणार्थ, दोन संख्या तुलनेने अविभाज्य असण्याची संभाव्यता 6/PI^2 आहे.

18 व्या शतकात तयार केलेल्या बुफॉनच्या सुई फेकण्याच्या समस्येमध्ये पाई दिसते: कागदाच्या एका रेषेवर फेकलेली सुई एक रेषा ओलांडण्याची शक्यता किती आहे. जर सुईची लांबी L असेल आणि रेषांमधील अंतर L आणि r > L असेल, तर आपण संभाव्यता सूत्र 2L/rPI वापरून Pi चे मूल्य अंदाजे काढू शकतो. फक्त कल्पना करा - यादृच्छिक घटनांमधून आम्ही Pi मिळवू शकतो. आणि तसे, Pi सामान्य संभाव्यता वितरणामध्ये उपस्थित आहे, प्रसिद्ध गॉसियन वक्र समीकरणात दिसते. याचा अर्थ फक्त परिघ आणि व्यासाच्या गुणोत्तरापेक्षा Pi अधिक मूलभूत आहे?

आपण भौतिकशास्त्रात Pi ला देखील भेटू शकतो. पाई कौलॉम्बच्या नियमात दिसतो, जो दोन शुल्कांमधील परस्परसंवादाच्या शक्तीचे वर्णन करतो, केप्लरच्या तिसऱ्या नियमामध्ये, जो सूर्याभोवती ग्रहाच्या क्रांतीचा कालावधी दर्शवतो आणि हायड्रोजन अणूच्या इलेक्ट्रॉन ऑर्बिटल्सच्या व्यवस्थेमध्ये देखील दिसून येतो. आणि पुन्हा सर्वात अविश्वसनीय काय आहे ते म्हणजे हायझेनबर्ग अनिश्चितता तत्त्व - क्वांटम भौतिकशास्त्राच्या मूलभूत नियमाच्या सूत्रामध्ये Pi संख्या दडलेली आहे.

पाईचे रहस्य

कार्ल सेगनच्या कॉन्टॅक्ट या कादंबरीत, ज्यावर त्याच नावाचा चित्रपट आधारित आहे, एलियन नायिकेला सांगतात की पाईच्या चिन्हांमध्ये देवाकडून एक गुप्त संदेश आहे. एका विशिष्ट स्थानावरून, संख्येतील संख्या यादृच्छिक नसतात आणि एक कोड दर्शवतात ज्यामध्ये विश्वाची सर्व रहस्ये लिहिली जातात.

या कादंबरीने खरोखरच एक रहस्य प्रतिबिंबित केले ज्याने जगभरातील गणितज्ञांच्या मनावर कब्जा केला आहे: Pi ही एक सामान्य संख्या आहे ज्यामध्ये अंक समान वारंवारतेने विखुरलेले आहेत किंवा या संख्येमध्ये काहीतरी चूक आहे? आणि जरी शास्त्रज्ञ पहिल्या पर्यायाकडे झुकले आहेत (परंतु ते सिद्ध करू शकत नाहीत), पाई ही संख्या खूप रहस्यमय दिसते. एका जपानी माणसाने एकदा मोजले की पाईच्या पहिल्या ट्रिलियन अंकांमध्ये 0 ते 9 पर्यंतची संख्या किती वेळा येते. आणि मी पाहिले की 2, 4 आणि 8 संख्या इतरांपेक्षा अधिक सामान्य आहेत. हे एक संकेत असू शकते की Pi पूर्णपणे सामान्य नाही आणि त्यातील संख्या यादृच्छिक नाहीत.

आपण वर वाचलेले सर्व काही लक्षात ठेवूया आणि स्वतःला विचारूया की, वास्तविक जगात इतर कोणती अपरिमेय आणि अतींद्रिय संख्या आढळते?

आणि स्टोअरमध्ये अधिक विचित्रता आहेत. उदाहरणार्थ, Pi च्या पहिल्या वीस अंकांची बेरीज 20 आहे आणि पहिल्या 144 अंकांची बेरीज “श्वापदाच्या संख्ये” 666 च्या बरोबरीची आहे.

अमेरिकन टीव्ही मालिका “सस्पेक्ट” या प्रोफेसर फिंचने विद्यार्थ्यांना सांगितले की, Pi या अनंततेमुळे, तुमच्या जन्मतारखेच्या संख्येपासून ते अधिकपर्यंत संख्यांचे कोणतेही संयोजन त्यात आढळू शकते. जटिल संख्या. उदाहरणार्थ, स्थान 762 वर सहा नाईन्सचा क्रम आहे. या स्थितीला फेनमॅन पॉइंट नंतर म्हणतात प्रसिद्ध भौतिकशास्त्रज्ञ, ज्यांना हे मनोरंजक संयोजन लक्षात आले.

आम्हाला हे देखील माहित आहे की Pi क्रमांकामध्ये 0123456789 हा क्रम आहे, परंतु तो 17,387,594,880 व्या अंकावर स्थित आहे.

या सर्वांचा अर्थ असा आहे की पाई या संख्येच्या अनंततेमध्ये आपल्याला केवळ संख्यांचे मनोरंजक संयोजनच नाही तर “युद्ध आणि शांती”, बायबल आणि अगदी एन्कोड केलेला मजकूर देखील सापडेल. मुख्य रहस्यब्रह्मांड, जर अशी गोष्ट अस्तित्वात असेल.

तसे, बायबल बद्दल. गणिताचे प्रसिद्ध प्रसिध्द करणारे, मार्टिन गार्डनर यांनी 1966 मध्ये म्हटले होते की Pi चा दशलक्षवा अंक (त्यावेळी अद्याप माहित नाही) हा आकडा 5 असेल. त्यांनी त्याची गणना या वस्तुस्थितीद्वारे स्पष्ट केली की बायबलच्या इंग्रजी आवृत्तीत, 3 मध्ये पुस्तक, 14वा अध्याय, 16 श्लोक (3-14-16) सातव्या शब्दात पाच अक्षरे आहेत. आठ वर्षांनंतर दशलक्षांचा आकडा गाठला गेला. पाचवा क्रमांक होता.

यानंतर Pi ही संख्या यादृच्छिक आहे असे ठामपणे सांगणे योग्य आहे का?

परिचय

लेखात गणितीय सूत्रे आहेत, म्हणून वाचण्यासाठी, त्यांना योग्यरित्या प्रदर्शित करण्यासाठी साइटवर जा.संख्या \(\pi\) ला समृद्ध इतिहास आहे. हे स्थिरांक वर्तुळाच्या परिघाचे व्यास आणि त्याचे गुणोत्तर दर्शवते.

विज्ञानामध्ये, संख्या \(\pi \) वर्तुळांचा समावेश असलेल्या कोणत्याही गणनेमध्ये वापरली जाते. सोडाच्या कॅनच्या आकारमानापासून उपग्रहांच्या कक्षेपर्यंत. आणि फक्त मंडळे नाही. खरंच, वक्र रेषांच्या अभ्यासात, संख्या \(\pi \) नियतकालिक आणि दोलन प्रणाली समजण्यास मदत करते. उदाहरणार्थ, इलेक्ट्रोमॅग्नेटिक लाटाआणि अगदी संगीत.

1706 मध्ये, ब्रिटिश शास्त्रज्ञ विल्यम जोन्स (1675-1749) यांच्या "गणिताचा नवीन परिचय" या पुस्तकात 3.141592 ही संख्या दर्शविण्यासाठी प्रथम ग्रीक वर्णमाला \(\pi\) अक्षर वापरण्यात आले.... हे पद यातून आले आहे प्रारंभिक पत्रग्रीक शब्द περιϕερεια - वर्तुळ, परिघ आणि περιµετρoς - परिमिती. 1737 मध्ये लिओनहार्ड यूलरच्या कार्यानंतर हे पद सामान्यतः स्वीकारले गेले.

भौमितिक कालावधी

कोणत्याही वर्तुळाच्या लांबी आणि व्यासाच्या गुणोत्तराची स्थिरता बर्याच काळापासून लक्षात आली आहे. मेसोपोटेमियाच्या रहिवाशांनी संख्या \(\pi\) ऐवजी ढोबळ अंदाजे वापरली. प्राचीन समस्यांवरून खालीलप्रमाणे, ते त्यांच्या गणनेमध्ये \(\pi ≈ 3\) मूल्य वापरतात.

प्राचीन इजिप्शियन लोकांनी \(\pi\) साठी अधिक अचूक मूल्य वापरले होते. लंडन आणि न्यूयॉर्कमध्ये, प्राचीन इजिप्शियन पॅपिरसचे दोन तुकडे ठेवले आहेत, ज्याला "रिंडा पॅपिरस" म्हणतात. पॅपिरस 2000-1700 च्या दरम्यान आर्म्स या लेखकाने संकलित केले होते. आर्म्सने त्याच्या पॅपिरसमध्ये लिहिले की \(r\) त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ \(\frac(8)(9) \) च्या बरोबरीचे आहे. वर्तुळाचा व्यास \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), म्हणजेच \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). म्हणून \(\pi = 3.16\).

प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ आर्किमिडीज (287-212 ईसापूर्व) यांनी प्रथम वैज्ञानिक आधारावर वर्तुळ मोजण्याची समस्या मांडली. त्याला \(3\frac(10)(71) गुण मिळाले.< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

पद्धत अगदी सोपी आहे, परंतु तयार टेबल नसतानाही त्रिकोणमितीय कार्येरूट काढणे आवश्यक असेल. या व्यतिरिक्त, अंदाजे \(\pi \) मध्ये खूप हळू एकत्रित होते: प्रत्येक पुनरावृत्तीसह त्रुटी केवळ चारपट कमी होते.

विश्लेषणात्मक कालावधी

असे असूनही, 17व्या शतकाच्या मध्यापर्यंत, युरोपीय शास्त्रज्ञांनी \(\pi\) संख्या मोजण्याचे सर्व प्रयत्न बहुभुजाच्या बाजू वाढवण्यासाठी उकळले. उदाहरणार्थ, डच गणितज्ञ लुडॉल्फ व्हॅन झिजलेन (१५४०-१६१०) यांनी \(\pi\) संख्येचे अंदाजे मूल्य २० दशांश अंकांपर्यंत अचूक मोजले.

त्याची गणना करण्यासाठी त्याला 10 वर्षे लागली. आर्किमिडीजच्या पद्धतीचा वापर करून कोरलेल्या आणि परिक्रमा केलेल्या बहुभुजांच्या बाजूंची संख्या दुप्पट करून, तो \(60 \cdot 2^(29) \) - 20 दशांश स्थानांसह \(\pi \) गणना करण्यासाठी एक त्रिकोण येथे पोहोचला.

त्याच्या मृत्यूनंतर, त्याच्या हस्तलिखितांमध्ये \(\pi\) संख्येचे आणखी 15 अचूक अंक सापडले. लुडॉल्फने मृत्युपत्र दिले की त्याला सापडलेली चिन्हे त्याच्या थडग्यावर कोरलेली असावीत. त्याच्या सन्मानार्थ, संख्या \(\pi\) कधीकधी "लुडॉल्फ क्रमांक" किंवा "लुडॉल्फ स्थिरांक" असे म्हटले जाते.

आर्किमिडीज पेक्षा वेगळी पद्धत सादर करणाऱ्यांपैकी एक म्हणजे फ्रँकोइस व्हिएटे (१५४०-१६०३). तो असा निष्कर्षापर्यंत पोहोचला की ज्या वर्तुळाचा व्यास एक सारखा आहे त्याचे क्षेत्रफळ आहे:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

दुसरीकडे, क्षेत्र \(\frac(\pi)(4)\) आहे. अभिव्यक्ती बदलून आणि सरलीकृत करून, आम्ही \(\frac(\pi)(2)\ चे अंदाजे मूल्य मोजण्यासाठी खालील अनंत उत्पादन सूत्र प्राप्त करू शकतो):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2) )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdots \]

परिणामी सूत्र संख्या \(\pi\) साठी प्रथम अचूक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ती दर्शवते. या सूत्राव्यतिरिक्त, व्हिएतने आर्किमिडीजच्या पद्धतीचा वापर करून, 6-गोनने सुरू होणारे आणि \(2^(16) \cdot 6 \) बाजू असलेल्या बहुभुजाने समाप्त होणारे, कोरलेले आणि परिक्रमा केलेले बहुभुज वापरून, अंदाजे दिले. संख्या \(\pi \) 9 सह योग्य चिन्हांसह.

इंग्रजी गणितज्ञ विल्यम ब्रॉन्कर (1620-1684), सतत अपूर्णांक वापरून, \(\frac(\pi)(4)\) मोजण्यासाठी खालील परिणाम प्राप्त केले:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

\(\frac(4)(\pi)\) संख्येचे अंदाजे मोजण्याच्या या पद्धतीला अगदी लहान अंदाजे मिळवण्यासाठी बरीच गणना करावी लागते.

प्रतिस्थापनाच्या परिणामी प्राप्त केलेली मूल्ये \(\pi\) या संख्येपेक्षा मोठी किंवा कमी असतात आणि प्रत्येक वेळी ते खऱ्या मूल्याच्या जवळ असतात, परंतु 3.141592 मूल्य प्राप्त करण्यासाठी खूप मोठे प्रदर्शन करणे आवश्यक असेल. गणना

1706 मध्ये आणखी एक इंग्लिश गणितज्ञ जॉन मॅचिन (1686-1751) यांनी 100 दशांश स्थानांसह \(\pi\) संख्या काढण्यासाठी 1673 मध्ये लीबनिझने काढलेले सूत्र वापरले आणि ते खालीलप्रमाणे लागू केले:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

मालिका पटकन एकत्र होते आणि त्याच्या मदतीने तुम्ही \(\pi \) संख्या अचूकपणे काढू शकता. संगणक युगात अनेक विक्रम प्रस्थापित करण्यासाठी या प्रकारची सूत्रे वापरली गेली.

17 व्या शतकात गणिताच्या कालावधीच्या सुरुवातीसह परिवर्तनीय आकारपोहोचले नवीन टप्पा\(\pi\) च्या गणनेत. जर्मन गणितज्ञ गॉटफ्राइड विल्हेल्म लीबनिझ (१६४६-१७१६) यांना १६७३ मध्ये \(\pi\) संख्येचा विस्तार आढळला. सामान्य दृश्यहे खालील अनंत मालिका म्हणून लिहिले जाऊ शकते:

\[ \pi = 1 - 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) - \frac(1)(7) + \frac(1)(9) - \frac(1) (११) + \cdots) \]

मालिका x = 1 ला \(arctg x = x – \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) – \frac(x^7)(7) + मध्ये बदलून प्राप्त होते. \frac (x^9)(9) - \cdots\)

लिओनहार्ड यूलरने लाइबनिझची कल्पना \(\pi\) ची गणना करण्यासाठी आर्कटान x साठी मालिका वापरण्यावर त्याच्या कामात विकसित केली. "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" या ग्रंथात (चालू विविध पद्धती 1738 मध्ये लिहिलेल्या अंदाजे संख्यांनुसार वर्तुळाचे वर्गीकरण करण्यासाठी अभिव्यक्ती, लीबनिझच्या सूत्राचा वापर करून गणना सुधारण्याच्या पद्धतींवर चर्चा करते.

युलर लिहितात की जर युक्तिवाद शून्याकडे झुकत असेल तर आर्कटॅन्जंटची मालिका वेगाने एकत्र होईल. \(x = 1\) साठी, मालिकेचे अभिसरण खूप मंद आहे: 100 अंकांच्या अचूकतेसह गणना करण्यासाठी मालिकेतील \(10^(50)\) संज्ञा जोडणे आवश्यक आहे. तुम्ही युक्तिवादाचे मूल्य कमी करून गणना वेगवान करू शकता. जर आपण \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\ घेतला, तर आपल्याला मालिका मिळेल

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) - \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdot) \]

युलरच्या मते, जर आपण या मालिकेतील 210 संज्ञा घेतल्या तर आपल्याला संख्येचे 100 अचूक अंक मिळतील. परिणामी मालिका गैरसोयीची आहे कारण अपरिमेय संख्या \(\sqrt(3)\) चे अचूक मूल्य जाणून घेणे आवश्यक आहे. युलरने त्याच्या गणनेमध्ये आर्कटेंजंट्सच्या विस्ताराचा वापर लहान वितर्कांच्या आर्कटांजंट्सच्या बेरीजमध्ये केला:

\[जेथे x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

यूलरने त्याच्या नोटबुकमध्ये वापरलेली \(\pi\) गणना करण्यासाठी सर्व सूत्रे प्रकाशित झाली नाहीत. प्रकाशित पेपर्स आणि नोटबुक्समध्ये, त्याने आर्कटँजेंटची गणना करण्यासाठी 3 वेगवेगळ्या मालिकांचा विचार केला आणि दिलेल्या अचूकतेसह \(\pi\) चे अंदाजे मूल्य प्राप्त करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या बेरीज करता येण्याजोग्या पदांच्या संख्येबद्दल अनेक विधाने केली.

त्यानंतरच्या वर्षांमध्ये, संख्या \(\pi\) च्या मूल्यामध्ये परिष्करण जलद आणि जलद झाले. उदाहरणार्थ, 1794 मध्ये, जॉर्ज वेगा (1754-1802) यांनी आधीच 140 चिन्हे ओळखली, त्यापैकी फक्त 136 बरोबर निघाली.

संगणकीय कालावधी

\(\pi\) संख्येच्या गणनेमध्ये 20 वे शतक पूर्णपणे नवीन टप्प्याद्वारे चिन्हांकित केले गेले. भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन (1887-1920) यांनी \(\pi\) साठी अनेक नवीन सूत्रे शोधून काढली. 1910 मध्ये, त्याने टेलर मालिकेतील आर्कटँजेंट विस्ताराद्वारे \(\pi\) गणना करण्यासाठी एक सूत्र प्राप्त केले:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

k=100 वर, \(\pi\) संख्येच्या 600 अचूक अंकांची अचूकता प्राप्त होते.

संगणकाच्या आगमनाने प्राप्त केलेल्या मूल्यांची अचूकता अधिक प्रमाणात वाढवणे शक्य झाले. लहान अटी. 1949 मध्ये, ENIAC चा वापर करून, जॉन फॉन न्यूमन (1903-1957) यांच्या नेतृत्वाखालील शास्त्रज्ञांच्या गटाने केवळ 70 तासांत \(\pi\) या संख्येसाठी 2037 दशांश स्थाने मिळविली. 1987 मध्ये, डेव्हिड आणि ग्रेगरी चुडनोव्स्की यांनी एक सूत्र प्राप्त केले ज्याच्या मदतीने ते \(\pi\) मोजण्यात अनेक विक्रम प्रस्थापित करू शकले:

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k) ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

मालिकेतील प्रत्येक सदस्य 14 अंक देतो. 1989 मध्ये, 1,011,196,691 दशांश स्थाने प्राप्त झाली. हे सूत्र वैयक्तिक संगणकांवर \(\pi \) मोजण्यासाठी योग्य आहे. सध्या, भाऊ न्यूयॉर्क विद्यापीठाच्या पॉलिटेक्निक इन्स्टिट्यूटमध्ये प्राध्यापक आहेत.

सायमन प्लॉफ यांनी 1997 मध्ये सूत्राचा शोध लावला हा एक महत्त्वाचा अलीकडील विकास होता. हे तुम्हाला मागील अंकांची गणना न करता \(\pi\) संख्येचा कोणताही हेक्साडेसिमल अंक काढण्याची परवानगी देते. सूत्राला "बेली-बोर्वेन-प्लॉफ फॉर्म्युला" असे म्हटले जाते ज्या लेखाचे सूत्र प्रथम प्रकाशित झाले होते त्या लेखाच्या लेखकांच्या सन्मानार्थ. हे असे दिसते:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) - \frac(2)(8k+4) ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

2006 मध्ये, सायमनने PSLQ वापरून \(\pi\) मोजण्यासाठी काही छान सूत्रे आणली. उदाहरणार्थ,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n – 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

कुठे \(q = e^(\pi)\). 2009 मध्ये, जपानी शास्त्रज्ञांनी, T2K सुकुबा सिस्टीम सुपर कॉम्प्युटर वापरून, 2,576,980,377,524 दशांश स्थानांसह \(\pi\) क्रमांक प्राप्त केला. गणना करण्यासाठी 73 तास 36 मिनिटे लागली. संगणक 640 क्वाड-कोरसह सुसज्ज होता AMD प्रोसेसर Opteron, ज्याने प्रति सेकंद 95 ट्रिलियन ऑपरेशन्सची कामगिरी प्रदान केली.

\(\pi\) गणना करण्यात पुढील यश फ्रेंच प्रोग्रामर फॅब्रिस बेलार्डचे आहे, ज्याने २००९ च्या शेवटी, फेडोरा १० चालवणाऱ्या त्याच्या वैयक्तिक संगणकावर, संख्येच्या 2,699,999,990,000 दशांश स्थानांची गणना करून विक्रम केला. ). गेल्या 14 वर्षात, सुपर कॉम्प्युटर न वापरता केलेला हा पहिला जागतिक विक्रम आहे. साठी उच्च कार्यक्षमताफॅब्रिसने चुडनोव्स्की बंधूंचे सूत्र वापरले. एकूण, गणनेला 131 दिवस लागले (गणनेचे 103 दिवस आणि निकालाच्या पडताळणीसाठी 13 दिवस). बेलारच्या कर्तृत्वाने असे दिसून आले की अशा गणनेसाठी सुपर कॉम्प्युटरची आवश्यकता नाही.

अवघ्या सहा महिन्यांनंतर, फ्रँकोइसचा रेकॉर्ड अलेक्झांडर यी आणि सिंगर कोंडो या अभियंत्यांनी मोडला. \(\pi\) संख्येच्या ५ ट्रिलियन दशांश स्थानांचा रेकॉर्ड सेट करण्यासाठी, एक वैयक्तिक संगणक देखील वापरला गेला, परंतु अधिक प्रभावी वैशिष्ट्यांसह: दोन इंटेल प्रोसेसर Xeon X5680 3.33 GHz वर, 96 GB रॅम, 38 TB डिस्क मेमरी आणि ऑपरेटिंग सिस्टमविंडोज सर्व्हर 2008 R2 Enterprise x64. गणनेसाठी, अलेक्झांडर आणि सिंगर यांनी चुडनोव्स्की बंधूंचे सूत्र वापरले. गणना प्रक्रियेला 90 दिवस आणि 22 टीबी डिस्क स्पेस लागली. 2011 मध्ये, त्यांनी \(\pi\) संख्येसाठी 10 ट्रिलियन दशांश स्थानांची गणना करून आणखी एक विक्रम प्रस्थापित केला. गणना त्याच संगणकावर झाली ज्यावर त्यांचे पूर्वीचे रेकॉर्ड सेट केले गेले होते आणि एकूण 371 दिवस लागले. 2013 च्या शेवटी, अलेक्झांडर आणि सिंगरो यांनी रेकॉर्डमध्ये सुधारणा करून 12.1 ट्रिलियन अंक \(\pi\), ज्याची गणना करण्यासाठी त्यांना फक्त 94 दिवस लागले. ही कामगिरी सुधारणा कार्यप्रदर्शन ऑप्टिमायझेशनद्वारे प्राप्त केली जाते सॉफ्टवेअर, प्रोसेसर कोरची संख्या वाढवणे आणि सॉफ्टवेअर फॉल्ट टॉलरन्समध्ये लक्षणीय सुधारणा करणे.

सध्याचा विक्रम अलेक्झांडर यी आणि सिंगर कोंडो यांचा आहे, जो १२.१ ट्रिलियन दशांश स्थान \(\pi\) आहे.

अशा प्रकारे, आम्ही प्राचीन काळी वापरल्या जाणाऱ्या संख्येची गणना करण्याच्या पद्धती, विश्लेषणात्मक पद्धती पाहिल्या आणि त्याकडेही पाहिले. आधुनिक पद्धतीआणि संगणकावर \(\pi \) संख्या मोजण्यासाठी रेकॉर्ड.

स्त्रोतांची यादी

झुकोव्ह ए.व्ही. सर्वव्यापी क्रमांक Pi - M.: प्रकाशन गृह LKI, 2007 - 216 p.
F.Rudio. F. Rudio द्वारे संकलित केलेल्या अंकाच्या इतिहासाच्या अनुप्रयोगासह वर्तुळाच्या वर्गीकरणावर. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP USSR, 1936. – 235c.
Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. - स्प्रिंगर, 2001. - 270p.
शुखमन, ई.व्ही. Leonhard Euler/E.V. च्या प्रकाशित आणि अप्रकाशित कामांमध्ये arctan x साठी मालिका वापरून Pi ची अंदाजे गणना. शुखमन. - विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाचा इतिहास, 2008 - क्रमांक 4. - पृष्ठ 2-17.
युलर, एल. डी व्हॅरीस मोडिस सर्कुली क्वाड्रॅटुरम अंक प्रॉक्सिम एक्सप्रिमेंडी/ कॉमेंटरी अकादमी वैज्ञानिक पेट्रोपॉलिटने. 1744 – व्हॉल्यूम 9 – 222-236p.
शुमिखिन, एस. नंबर पाई. 4000 वर्षांचा इतिहास / एस. शुमिखिन, ए. शुमिखिना. – एम.: एक्समो, 2011. – 192 पी.
बोर्विन, जे.एम. रामानुजन आणि क्रमांक पी. / Borwein, J.M., Borwein P.B. विज्ञानाच्या जगात. 1988 - क्रमांक 4. – पृ. 58-66.
ॲलेक्स यी. संख्या जग. प्रवेश मोड: numberworld.org

तुम्हाला ते आवडले का?

सांगा

मानवजातीसाठी ज्ञात असलेल्या सर्वात रहस्यमय संख्यांपैकी एक, अर्थातच, Π (वाचा - pi) संख्या आहे. बीजगणितामध्ये, ही संख्या वर्तुळाच्या परिघाच्या व्यासाचे गुणोत्तर दर्शवते. पूर्वी, या प्रमाणाला लुडॉल्फ क्रमांक म्हटले जात असे. Pi ही संख्या कशी आणि कोठून आली हे निश्चितपणे ज्ञात नाही, परंतु गणितज्ञ Π संख्येचा संपूर्ण इतिहास 3 टप्प्यात विभागतात: प्राचीन, शास्त्रीय आणि डिजिटल संगणकाचा युग.

P ही संख्या अपरिमेय आहे, म्हणजेच ती साधी अपूर्णांक म्हणून दर्शवली जाऊ शकत नाही, जेथे अंश आणि भाजक पूर्णांक आहेत. म्हणून, अशा संख्येचा अंत नसतो आणि तो नियतकालिक असतो. P ची असमंजस्यता प्रथम I. Lambert यांनी 1761 मध्ये सिद्ध केली.

या गुणधर्माव्यतिरिक्त, संख्या P ही कोणत्याही बहुपदीचे मूळ असू शकत नाही, आणि म्हणून मालमत्ता ही एक संख्या आहे, जेव्हा ती 1882 मध्ये सिद्ध झाली, तेव्हा त्याने गणितज्ञांमधील जवळजवळ पवित्र विवाद संपवला. वर्तुळ," जे 2,500 वर्षे टिकले.

हे ज्ञात आहे की 1706 मध्ये ब्रिटन जोन्सने या क्रमांकाचे पदनाम सर्वप्रथम सादर केले होते. यूलरची कामे दिसू लागल्यानंतर, या नोटेशनचा वापर सामान्यतः स्वीकारला गेला.

Pi संख्या काय आहे हे तपशीलवार समजून घेण्यासाठी, असे म्हटले पाहिजे की त्याचा वापर इतका व्यापक आहे की त्याशिवाय विज्ञानाच्या क्षेत्राचे नाव देणे देखील कठीण आहे. सर्वात सोपा आणि सर्वात परिचितांपैकी एक शालेय अभ्यासक्रममूल्ये हे भौमितिक कालावधीचे पदनाम आहे. वर्तुळाच्या लांबीचे त्याच्या व्यासाच्या लांबीचे गुणोत्तर स्थिर आणि 3.14 इतके आहे हे मूल्य भारत, ग्रीस, बॅबिलोन आणि इजिप्तमधील सर्वात प्राचीन गणितज्ञांना माहित होते. गुणोत्तराच्या गणनेची सर्वात जुनी आवृत्ती 1900 ईसापूर्व आहे. e च्या जवळ आधुनिक अर्थपी ची गणना चीनी शास्त्रज्ञ लियू हुई यांनी केली होती, त्याव्यतिरिक्त, त्याने शोध लावला आणि जलद मार्गअशी गणना. त्याचे मूल्य साधारणपणे 900 वर्षे स्वीकारले गेले.

गणिताच्या विकासातील शास्त्रीय कालावधी या वस्तुस्थितीद्वारे चिन्हांकित केला गेला की Pi संख्या नेमकी काय आहे हे स्थापित करण्यासाठी, शास्त्रज्ञांनी गणितीय विश्लेषणाच्या पद्धती वापरण्यास सुरुवात केली. 1400 च्या दशकात, भारतीय गणितज्ञ माधव यांनी गणना करण्यासाठी मालिका सिद्धांताचा वापर केला आणि P चा कालावधी 11 दशांश स्थानांच्या आत निर्धारित केला. आर्किमिडीज नंतरचा पहिला युरोपियन, ज्याने पी क्रमांकाचा अभ्यास केला आणि त्याचे प्रमाणीकरण करण्यासाठी महत्त्वपूर्ण योगदान दिले, डचमॅन लुडॉल्फ व्हॅन झीलेन होते, ज्याने दशांश बिंदूनंतर 15 अंक आधीच निश्चित केले होते आणि त्याच्या इच्छेमध्ये त्याने अतिशय मनोरंजक शब्द लिहिले: “. .. ज्याला स्वारस्य आहे, त्याला पुढे जाऊ द्या. ” या शास्त्रज्ञाच्या सन्मानार्थ पी क्रमांकाला इतिहासातील पहिले आणि एकमेव नाव मिळाले.

संगणक संगणनाच्या युगाने P या संख्येचे सार समजून घेण्यासाठी नवीन तपशील आणले आहेत. त्यामुळे, Pi संख्या काय आहे हे शोधण्यासाठी, 1949 मध्ये प्रथम ENIAC संगणक वापरला गेला, ज्याचा एक विकासक होता. सिद्धांताचा भविष्यातील “पिता” आधुनिक संगणक J. पहिले मोजमाप ७० तास चालले होते आणि P क्रमांकाच्या कालावधीत दशांश बिंदूनंतर २०३७ अंक दिले होते. १९७३ मध्ये दशलक्ष अंकी अंक गाठला होता. याव्यतिरिक्त, या कालावधीत, इतर सूत्रे स्थापित केली गेली जी संख्या P प्रतिबिंबित करतात. अशा प्रकारे, चुडनोव्स्की बंधू एक शोधण्यात सक्षम झाले ज्यामुळे त्या कालावधीतील 1,011,196,691 अंकांची गणना करणे शक्य झाले.

सर्वसाधारणपणे, हे लक्षात घेतले पाहिजे की या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी: "पाई म्हणजे काय?", अनेक अभ्यास स्पर्धांसारखे दिसू लागले. आज, सुपर कॉम्प्युटर आधीच Pi हा खरा क्रमांक काय आहे या प्रश्नावर काम करत आहेत. मनोरंजक तथ्येया अभ्यासांशी संबंधित कल्पना गणिताच्या जवळजवळ संपूर्ण इतिहासात पसरतात.

आज, उदाहरणार्थ, पी क्रमांक लक्षात ठेवण्यासाठी जागतिक चॅम्पियनशिप आयोजित केल्या जात आहेत आणि जागतिक विक्रम नोंदवले जात आहेत, शेवटचा एक चिनी लिऊ चाओचा आहे, ज्याने एका दिवसात 67,890 वर्णांची नावे दिली. जगात पी क्रमांकाची सुट्टी देखील आहे, जी “पी डे” म्हणून साजरी केली जाते.

2011 पर्यंत, संख्या कालावधीचे 10 ट्रिलियन अंक आधीच स्थापित केले गेले आहेत.

PI NUMBER
PI चिन्हाचा अर्थ वर्तुळाच्या परिघाचे त्याच्या व्यासाचे गुणोत्तर. या अर्थाने प्रथमच p हे चिन्ह डब्ल्यू. जोन्स यांनी 1707 मध्ये वापरले होते आणि एल. यूलरने हे पद स्वीकारून ते वैज्ञानिक वापरात आणले. अगदी प्राचीन काळीही, गणितज्ञांना माहित होते की p चे मूल्य आणि वर्तुळाचे क्षेत्रफळ मोजणे जवळून संबंधित समस्या आहेत. प्राचीन चिनी आणि प्राचीन हिब्रू लोकांनी p ही संख्या 3 मानली होती. p चे मूल्य 3.1605 आहे जे अहमेस या लेखकाच्या प्राचीन इजिप्शियन पपायरसमध्ये आढळते (इ. स. 1650 ईसापूर्व). सुमारे 225 ईसापूर्व e आर्किमिडीजने, नियमित 96-गोन्स कोरलेले आणि परिक्रमा केलेले वापरून, एका पद्धतीचा वापर करून वर्तुळाचे क्षेत्रफळ अंदाजे केले ज्यामुळे PI मूल्य 31/7 आणि 310/71 दरम्यान होते. p चे आणखी एक अंदाजे मूल्य, 3.1416 या संख्येच्या नेहमीच्या दशांश प्रतिनिधित्वाच्या समतुल्य, दुसऱ्या शतकापासून ज्ञात आहे. L. van Zeijlen (1540-1610) यांनी PI चे मूल्य 32 दशांश स्थानांसह काढले. 17 व्या शतकाच्या अखेरीस. गणितीय विश्लेषणाच्या नवीन पद्धतींमुळे p चे मूल्य संचाद्वारे काढणे शक्य झालेविविध प्रकारे

. 1593 मध्ये एफ. व्हिएत (1540-1603) हे सूत्र प्राप्त झाले

1665 मध्ये जे. वॉलिस (1616-1703) यांनी ते सिद्ध केले

1658 मध्ये, डब्ल्यू. ब्रॉन्कर यांना p संख्याचे एक निरंतर अपूर्णांकाच्या रूपात प्रतिनिधित्व आढळले.

जी. लिबनिझने १६७३ मध्ये एक मालिका प्रकाशित केली मालिका तुम्हाला कोणत्याही दशांश स्थानांसह p मूल्याची गणना करण्यास अनुमती देते. INअलीकडील वर्षे इलेक्ट्रॉनिकच्या आगमनाने p मूल्य 10,000 पेक्षा जास्त वर्णांसह आढळले. दहा अंकांसह, PI मूल्य 3.1415926536 आहे. संख्या म्हणून, PI मध्ये काही मनोरंजक गुणधर्म आहेत. उदाहरणार्थ, ते दोन पूर्णांकांचे गुणोत्तर किंवा नियतकालिक दशांश अपूर्णांक म्हणून दर्शविले जाऊ शकत नाही; PI ही संख्या ट्रान्सेंडेंटल आहे, म्हणजे परिमेय गुणांकांसह बीजगणितीय समीकरणाचे मूळ म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकत नाही. PI क्रमांक अनेक गणितीय, भौतिक आणि तांत्रिक सूत्रांमध्ये समाविष्ट केला जातो, ज्यामध्ये वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाशी किंवा वर्तुळाकार कमानीच्या लांबीशी थेट संबंध नसतात. उदाहरणार्थ, लंबवर्तुळ A चे क्षेत्रफळ A = pab या सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते, जेथे a आणि b ही प्रमुख आणि लहान अर्ध-अक्षांची लांबी असते.

कॉलियर्स एनसायक्लोपीडिया. - मुक्त समाज. 2000 .

इतर शब्दकोशांमध्ये "PI NUMBER" काय आहे ते पहा:

संख्या- प्राप्त करत आहे स्रोत: GOST 111 90: शीट ग्लास. तपशीलमूळ दस्तऐवज संबंधित अटी देखील पहा: 109. बीटाट्रॉन दोलनांची संख्या ... नियमात्मक आणि तांत्रिक दस्तऐवजीकरणाच्या अटींचे शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

संज्ञा, s., वापरले. खूप वेळा मॉर्फोलॉजी: (नाही) काय? संख्या, काय? संख्या, (पहा) काय? संख्या, काय? नंबर, कशाबद्दल? संख्या बद्दल; pl काय? संख्या, (नाही) काय? संख्या, का? संख्या, (पहा) काय? संख्या, काय? संख्या, कशाबद्दल? संख्यांबद्दल गणित 1. संख्येनुसार... ... शब्दकोशदिमित्रीवा

NUMBER, संख्या, अनेकवचन. संख्या, संख्या, संख्या, cf. 1. संकल्पना जी परिमाणाची अभिव्यक्ती म्हणून काम करते, काहीतरी ज्याच्या मदतीने वस्तू आणि घटना मोजल्या जातात (चटई). पूर्णांक. अपूर्णांक संख्या. नामांकित क्रमांक. प्राइम नंबर. (1 मधील साधे 1 मूल्य पहा). … … उशाकोव्हचा स्पष्टीकरणात्मक शब्दकोश

विशिष्ट मालिकेतील कोणत्याही सदस्यासाठी विशेष सामग्री नसलेले एक अमूर्त पदनाम, ज्यामध्ये हा सदस्य काही विशिष्ट सदस्याच्या आधी किंवा त्यानंतर आहे; अमूर्त वैयक्तिक वैशिष्ट्य जे एका संचापासून वेगळे करते... ... फिलॉसॉफिकल एनसायक्लोपीडिया

क्रमांक- संख्या ही व्यक्त करणारी व्याकरणाची श्रेणी आहे परिमाणवाचक वैशिष्ट्येविचारांच्या वस्तू. व्याकरणात्मक संख्या ही अधिक सामान्य भाषिक श्रेणीच्या प्रमाणातील एक अभिव्यक्ती आहे (भाषा श्रेणी पहा) आणि लेक्सिकल मॅनिफेस्टेशन ("लेक्सिकल... ... भाषिक ज्ञानकोशीय शब्दकोश

अंदाजे 2.718 च्या बरोबरीची संख्या, जी बहुतेक वेळा गणितात आढळते आणि नैसर्गिक विज्ञान. उदाहरणार्थ, जेव्हा किरणोत्सर्गी पदार्थ t नंतर क्षय होतो, तेव्हा त्या पदार्थाच्या सुरुवातीच्या रकमेचा e kt सारखा अपूर्णांक राहतो, जिथे k ही संख्या असते,... ... कॉलियर्स एनसायक्लोपीडिया

अ; pl संख्या, सॅट, स्लॅम; बुध 1. विशिष्ट प्रमाण व्यक्त करणारे खात्याचे एकक. अपूर्णांक, पूर्णांक, सम, विषम तास (अंदाजे, संपूर्ण एककांमध्ये मोजणे). नैसर्गिक h (धन पूर्णांक... विश्वकोशीय शब्दकोश

बुध. प्रमाण, मोजणीनुसार, प्रश्नासाठी: किती? आणि प्रमाण, संख्या व्यक्त करणारे अगदी चिन्ह. संख्येशिवाय; कोणतीही संख्या नाही, मोजल्याशिवाय, अनेक, अनेक. अतिथींच्या संख्येनुसार कटलरी सेट करा. रोमन, अरबी किंवा चर्च क्रमांक. पूर्णांक, विरुद्ध. अंश...... डहलचा स्पष्टीकरणात्मक शब्दकोश

NUMBER, a, बहुवचन. संख्या, sat, slam, cf. 1. गणिताची मूळ संकल्पना प्रमाण आहे, ज्याच्या मदतीने गणना केली जाते. पूर्णांक h. वास्तविक h. साधा भाग ( नैसर्गिक संख्या, नाही…… ओझेगोव्हचा स्पष्टीकरणात्मक शब्दकोश

NUMBER “E” (EXP), एक अपरिमेय संख्या जी नैसर्गिक लॉगरिदमचा आधार म्हणून काम करते. हे वैध आहे दशांश संख्या, 2.7182818284590.... च्या बरोबरीचा अनंत अपूर्णांक, n अनंताकडे झुकत असल्याने अभिव्यक्तीची मर्यादा (1/) आहे. मूलत:....... वैज्ञानिक आणि तांत्रिक ज्ञानकोशीय शब्दकोश

प्रमाण, उपलब्धता, रचना, सामर्थ्य, आकस्मिक, रक्कम, आकृती; दिवस.. बुध. . दिवस, प्रमाण पहा. एक लहान संख्या, संख्या नाही, संख्या वाढवा... रशियन समानार्थी शब्द आणि अर्थ समान अभिव्यक्ती शब्दकोश. अंतर्गत एड एन. अब्रामोवा, एम.: रशियन... ... समानार्थी शब्दांचा शब्दकोश

पुस्तके

नाव क्रमांक. अंकशास्त्राची रहस्ये. आळशीसाठी शरीराबाहेरील सुटका. एक्स्ट्रासेन्सरी पर्सेप्शनवरील पाठ्यपुस्तक (खंडांची संख्या: 3)
नाव क्रमांक. अंकांवर एक नवीन रूप. अंकशास्त्र - ज्ञानाचा मार्ग (खंडांची संख्या: 3), लॉरेन्स शर्ली. नाव क्रमांक. अंकशास्त्राची रहस्ये.

शर्ली बी. लॉरेन्स यांचे पुस्तक म्हणजे अंकशास्त्राच्या प्राचीन गूढ प्रणालीचा व्यापक अभ्यास. संख्या कंपन कसे वापरायचे ते शिकण्यासाठी...

तुम्ही वेगवेगळ्या आकारांच्या वर्तुळांची तुलना केल्यास, तुम्हाला खालील गोष्टी लक्षात येतील: वेगवेगळ्या वर्तुळांचे आकार प्रमाणानुसार आहेत. याचा अर्थ जेव्हा वर्तुळाचा व्यास ठराविक पटीने वाढतो तेव्हा या वर्तुळाची लांबीही त्याच संख्येने वाढते. गणितीयदृष्ट्या हे असे लिहिले जाऊ शकते: 1		तुम्ही वेगवेगळ्या आकारांच्या वर्तुळांची तुलना केल्यास, तुम्हाला खालील गोष्टी लक्षात येतील: वेगवेगळ्या वर्तुळांचे आकार प्रमाणानुसार आहेत. याचा अर्थ जेव्हा वर्तुळाचा व्यास ठराविक पटीने वाढतो तेव्हा या वर्तुळाची लांबीही त्याच संख्येने वाढते. गणितीयदृष्ट्या हे असे लिहिले जाऊ शकते: 2
	=
सी 1		सी 2	(1)

d
जेथे C1 आणि C2 ही दोन भिन्न वर्तुळांची लांबी आहे आणि d1 आणि d2 त्यांचे व्यास आहेत.

हे संबंध समानुपातिकतेच्या गुणांकाच्या उपस्थितीत कार्य करते - स्थिर π, जो आपल्यासाठी आधीच परिचित आहे. संबंध (1) वरून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो: C वर्तुळाची लांबी या वर्तुळाच्या व्यासाच्या गुणाकाराच्या बरोबरीची आहे आणि वर्तुळापासून स्वतंत्र समानुपातिक गुणांक π आहे:

दिलेल्या वर्तुळाच्या आर त्रिज्याद्वारे व्यास d व्यक्त करून हे सूत्र दुसऱ्या स्वरूपात देखील लिहिले जाऊ शकते:

С = 2π R.

हे सूत्र सातव्या इयत्तेच्या विद्यार्थ्यांसाठी वर्तुळाच्या जगासाठी अचूकपणे मार्गदर्शक आहे.

प्राचीन काळापासून, लोकांनी या स्थिरतेचे मूल्य स्थापित करण्याचा प्रयत्न केला आहे. उदाहरणार्थ, मेसोपोटेमियाच्या रहिवाशांनी सूत्र वापरून वर्तुळाचे क्षेत्रफळ मोजले:

π = 3 कुठून येतो?

IN प्राचीन इजिप्तπ चे मूल्य अधिक अचूक होते. इ.स.पू. 2000-1700 मध्ये, अहमेस नावाच्या लेखकाने एक पॅपिरस संकलित केला ज्यामध्ये आपल्याला विविध व्यावहारिक समस्या सोडवण्यासाठी पाककृती सापडतात. म्हणून, उदाहरणार्थ, वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तो सूत्र वापरतो:

			8			2
एस	=	(		सी	)
			9

कोणत्या कारणांमुळे तो या सूत्रापर्यंत पोहोचला? - अज्ञात. तथापि, इतर प्राचीन तत्त्ववेत्त्यांप्रमाणेच कदाचित त्याच्या निरीक्षणांवर आधारित असेल.

आर्किमिडीजच्या पावलांवर

दोनपैकी कोणती संख्या 22/7 किंवा 3.14 पेक्षा मोठी आहे?
- ते समान आहेत.
- का?
- त्यापैकी प्रत्येक π समान आहे.
ए. ए. व्लासोव्ह. परीक्षा कार्डावरून.

काही लोकांचा असा विश्वास आहे की अपूर्णांक 22/7 आणि संख्या π समान आहेत. पण हा गैरसमज आहे. परीक्षेतील वरील चुकीच्या उत्तराव्यतिरिक्त (एपीग्राफ पहा), तुम्ही या गटात एक अतिशय मनोरंजक कोडे देखील जोडू शकता. कार्य असे वाचते: "एक सामना व्यवस्थित करा जेणेकरून समानता खरी होईल."

यावर उपाय असा असेल: उजवीकडील भाजकातील उभ्या जुळ्यांपैकी एक वापरून, तुम्हाला डावीकडील दोन उभ्या जुळण्यांसाठी "छप्पर" तयार करणे आवश्यक आहे. तुम्हाला π अक्षराची दृश्य प्रतिमा मिळेल.

बर्याच लोकांना माहित आहे की अंदाजे π = 22/7 प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ आर्किमिडीजने निर्धारित केले होते. याच्या सन्मानार्थ, या अंदाजेला बऱ्याचदा "आर्किमिडियन" क्रमांक म्हटले जाते. आर्किमिडीजने केवळ π साठी अंदाजे मूल्य स्थापित केले नाही तर या अंदाजाची अचूकता देखील शोधली, म्हणजे π हे मूल्य ज्याच्याशी संबंधित आहे तो एक संकीर्ण संख्यात्मक अंतर शोधण्यात. आर्किमिडीजने त्याच्या एका कामात असमानतेची साखळी सिद्ध केली आहे आधुनिक शैलीअसे दिसेल:

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

अधिक सोप्या पद्धतीने लिहिले जाऊ शकते: 3,140 909< π < 3,1 428 265...

जसे आपण असमानतेवरून पाहू शकतो, आर्किमिडीजला 0.002 पर्यंतच्या अचूकतेसह बऱ्यापैकी अचूक मूल्य सापडले. सर्वात आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे त्याला पहिली दोन दशांश स्थाने सापडली: 3.14... हे मूल्य आपण बहुतेक वेळा साध्या गणनेत वापरतो.

व्यावहारिक अनुप्रयोग

दोन लोक ट्रेनमध्ये प्रवास करत आहेत:
- पहा, रेल सरळ आहेत, चाके गोल आहेत.
ठोका कुठून येत आहे?
- कुठून? चाके गोलाकार आहेत, परंतु क्षेत्रफळ
वर्तुळ pi er चौरस, तोच चौरस ठोकतो!

नियमानुसार, ते 6 व्या-7 व्या वर्गात या आश्चर्यकारक संख्येशी परिचित होतात, परंतु 8 व्या वर्गाच्या शेवटी ते अधिक सखोल अभ्यास करतात. लेखाच्या या भागात आम्ही मूलभूत आणि सर्वात महत्वाचे सूत्रे सादर करू जे तुम्हाला भौमितिक समस्या सोडवण्यासाठी उपयुक्त ठरतील, परंतु सुरुवातीला आम्ही गणना सुलभतेसाठी π 3.14 म्हणून घेण्यास सहमत आहोत.

कदाचित सर्वात जास्त प्रसिद्ध सूत्रशाळकरी मुलांमध्ये, ज्यामध्ये π वापरला जातो, हे वर्तुळाच्या लांबी आणि क्षेत्रासाठी सूत्र आहे. प्रथम, वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र खालीलप्रमाणे लिहिले आहे:

	π *डी 2*
*S=π R 2 =*
	4

जेथे S वर्तुळाचे क्षेत्रफळ आहे, R त्याची त्रिज्या आहे, D वर्तुळाचा व्यास आहे.

वर्तुळाचा घेर, किंवा, ज्याला कधीकधी म्हणतात, वर्तुळाचा परिघ, सूत्रानुसार मोजला जातो:

C = 2 π R = π d,

जेथे C हा परिघ आहे, R ही त्रिज्या आहे, d हा वर्तुळाचा व्यास आहे.

हे स्पष्ट आहे की व्यास d हा दोन त्रिज्या R च्या बरोबरीचा आहे.

परिघाच्या सूत्रावरून, आपण वर्तुळाची त्रिज्या सहजपणे शोधू शकता:

जेथे D हा व्यास आहे, C हा परिघ आहे, R ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे.

या मूलभूत सूत्रे, जे प्रत्येक विद्यार्थ्याला माहित असले पाहिजे. तसेच, कधीकधी संपूर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्राची गणना करणे आवश्यक नसते, परंतु केवळ त्याच्या भागाचे - क्षेत्र. म्हणून, आम्ही ते तुमच्यासमोर सादर करतो - वर्तुळाच्या क्षेत्राच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी एक सूत्र. हे असे दिसते:

			α
एस	=	*π R 2*
			360 ˚

जेथे S हे सेक्टरचे क्षेत्रफळ आहे, R ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे, α हा अंशांमध्ये मध्य कोन आहे.

इतके रहस्यमय 3.14

खरंच, ते रहस्यमय आहे. कारण या जादुई संख्येच्या सन्मानार्थ ते सुट्ट्या आयोजित करतात, चित्रपट बनवतात, सार्वजनिक कार्यक्रम आयोजित करतात, कविता लिहितात आणि बरेच काही.

उदाहरणार्थ, 1998 मध्ये, अमेरिकन दिग्दर्शक डॅरेन अरोनोफस्कीचा “पी” नावाचा चित्रपट प्रदर्शित झाला. या चित्रपटाला अनेक पुरस्कार मिळाले.

दरवर्षी 14 मार्च रोजी सकाळी 1:59:26 वाजता, गणितात रस असलेले लोक "पाय डे" साजरा करतात. सुट्टीसाठी, लोक एक गोल केक तयार करतात, खाली बसतात गोल टेबलआणि Pi वर चर्चा करा आणि Pi शी संबंधित समस्या आणि कोडी सोडवा.

कवींनी या आश्चर्यकारक संख्येकडे लक्ष दिले: एका अज्ञात व्यक्तीने लिहिले:
तुम्हाला फक्त प्रयत्न करावे लागतील आणि सर्वकाही जसे आहे तसे लक्षात ठेवा - तीन, चौदा, पंधरा, बण्णव आणि सहा.