Нет окна биологический датчик случайных чисел. Россияне придумали «первый в мире» биологический генератор случайных чисел. Как он работает? Проверка качества работы генератора
Различают три принципиально различных способа получения чисел, используемых в качестве случайных: физический, табличный и алгоритмический.
Считается, что первая попытка создать физический датчик случайных чисел относится к 3500 году до н.э. и связана с настольной игрой сенет, древнеегипетским светским развлечением. Согласно современным реконструкциям правил игры для определения набранного каждым игроком количества очков и очередности ходов в этой игре использовались четыре плоские палочки, одна сторона которых была белой, другая - черной. Палочки бросали одновременно и в зависимости от выпавшей комбинации цветов определяли дополнительные возможности игроков. В начале XX в. последовательности случайных чисел имитировались вручную - с помощью бросаний монеты или игральной кости, раскладывания игральных карт, рулетки, извлечения шаров из урны и т.д. Современные физические (аппаратные) датчики представляют собой специальные устройства, генерирующие случайные числа на основе преобразования случайных шумов естественного или искусственного происхождения (тепловой шум, дробовой эффект в электронных лампах, радиоактивный распад и т.д.). Например, машина ERNIE 4 (electronic random number indicator equipment ),
- 1 Иногда, хотя и редко, к стандартным относят распределение, задаваемое таблицей 0 1 ... 8 9
- 0,1 0,1 ... 0,1 0,1/ с помощью которой определяют выигравшие номера в ежемесячной Британской лотерее, в качестве источника случайных величин использует тепловой шум транзисторов. У физического способа получения последовательности случайных чисел есть особенности, которые для имитационной модели являются недостатками. К ним относятся, в первую очередь, необходимость специальных мер по обеспечению стабильности источника сигнала, преобразуемого в случайные числа, и невозможность воспроизведения полученной последовательности случайных чисел.
Таблицы случайных чисел лишены указанных недостатков. Поясним, что понимается под таблицей случайных чисел. Предположим, что мы осуществили N независимых опытов, в результате которых получили случайные цифры а, а 2 ,осдг. Запись этих цифр (в порядке появления и в форме прямоугольной таблицы) даст так называемую таблицу случайных цифр. Используется она следующим образом. В ходе расчетов нам может потребоваться либо случайная цифра, либо случайное число. Если потребуется случайная цифра, то мы можем взять любую цифру из этой таблицы. То же относится к случаю целого случайного числа - для каждого разряда можно выбрать любую цифру. Если нам понадобится случайное число 0 k очередных цифр сц, а 2 , ос/, и считать, что 8 = (Хоцо^.-.о^. При этом в случае «идеальной» таблицы случайных цифр выбирать цифры из нее можно случайным образом, можно подряд, можно использовать любой алгоритм выбора, не зависящий от значений цифр таблицы, начинать с любого места таблицы, читать в любом направлении.
Первые таблицы случайных чисел были получены с помощью рулеток. Такие таблицы несколько раз издавались в виде книг. Одна из самых известных таблиц , опубликованная в 1927 г., содержала свыше 40 000 случайных цифр, «произвольно взятых из отчетов о переписи».
Историческая справка
Леонард Типпет (Leonard Henry Caleb Tippett , 1902-1985) - английский статистик, ученик К. Пирсона и Р. Фишера. В 1965-1966 гг. - президент Королевского статистического общества. С его именем связаны некоторые важные результаты в теории экстремальных значений, например распределение Фишера - Типпета и теорема Фишера - Типпета - Гнеденко.
Позже были сконструированы специальные устройства (машины), механически вырабатывающие случайные числа. Первую такую машину в 1939 г. использовали М. Дж. Кендалл и Б. Бэбингтон-Смит при создании таблиц, включающих 100 тыс. случайных цифр. В 1955 г. компания RAND Corporation опубликовала хорошо известные таблицы с миллионом случайных цифр, полученных другой машиной такого типа. Практическое применение таблиц случайных чисел ограничивается в настоящее время, как правило, задачами, в которых используются методы случайного отбора
выборок, например в социологических исследованиях или при проведении статистического приемочного контроля качества штучной продукции различного назначения.
Это интересно
В России действует ГОСТ 18321-73 (СТ СЭВ 1934-79), устанавливающий правила отбора единиц продукции в выборку при проведении статистического приемочного контроля качества, статистических методов анализа и регулирования технологических процессов для всех видов штучной продукции производственно-технического назначения и товаров народного потребления. В нем, в частности, указывается, что при отборе единиц продукции в выборку «используют таблицы случайных чисел по СТ СЭВ 546-77».
многократно применять; все числа легко воспроизводятся; и запас чисел в такой последовательности ограничен. Однако у последовательности псевдослучайных чисел есть очевидное преимущество перед таблицей: существуют простые формулы для расчета псевдослучайного числа, при этом на получение каждого числа затрачивается всего 3-5 команд, а программа расчета занимает в накопителе лишь несколько ячеек.
Алгоритмов получения последовательностей псевдослучайных чисел существует много, реализации таких алгоритмов, называемые датчиками (генераторами) псевдослучайных чисел, довольно подробно описаны в специальной литературе . Укажем несколько наиболее известных алгоритмов.
- Tippett L. Random sampling numbers. London: Cambridge University Press, 1927.
- См.: Кнут Д. Э. Искусство программирования. 3-е изд. М. : Вильямс, 2000. Т. 2. Гл. 3.Случайные числа.
Получение и преобразование случайных чисел.
Распространены два основных способа получения случайных чисел:
1) Случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой (датчиком случайных чисел), устанавливаемой на ЭВМ. Реализация этого способа почти не требует дополнительных операций, кроме обращения к датчику случайных чисел.
2) Алгоритмический способ – основан на формировании случайных чисел в самой машине посредством специальной программы. Недостатком этого способа является дополнительный расход машинного времени, так как в этом случае машина выполняет операции самой электронной приставки.
Программа выработки случайных чисел заданным законом распределения может оказаться громоздкой. Поэтому случайные числа с заданным законом распределения обычно получают не непосредственно, а путем преобразования случайных чисел, имеющих какое-то стандартное распределение. Часто таким стандартным распределением является равномерное распределение (простота получения и удобство преобразования в другие законы).
Получение случайных чисел с равномерным законом наиболее выгодно получать с помощью электронной приставки, освобождающей ЭВМ от дополнительных затрат машинного времени. Получение чисто равномерного распределения на ЭВМ невозможно в силу ограниченности разрядной сетки. Поэтому вместо непрерывной совокупности чисел на интервале (0, 1) используют дискретную совокупность из 2 n чисел, где n – разрядность машинного слова.
Закон распределения такой совокупности носит название квазиравномерного . При n³20 различия между равномерным и квазиравномерным законами становятся несущественными.
Для получения квазиравномерных случайных чисел используют 2 способа:
1) генерирование случайных чисел с помощью электронной приставки путем моделирования некоторых случайных процессов;
2) получение псевдослучайных чисел с помощью специальных алгоритмов.
Для получения n -значного двоичного случайного числа по первому способу моделируется последовательность независимых случайных величин z i , принимающих значение 0 или 1. полученная последовательность 0 и 1, если рассматривать ее как дробное число, и представляет собой случайную величину квазиравномерного распределения на интервале (0, 1). Аппаратные методы получения этих чисел различаются только способом получения реализации z i .
Один из способов основан на подсчете количества радиоактивных частиц за определенный промежуток времени Dt , если число частиц за Dt четное, то z i =1 , а если нечетное, то z i =0 .
Другой способ использует шумовой эффект электронной лампы. Фиксируя значение шумового напряжения в определенные моменты времени t i , получаем значения независимых случайных величин U(t i) , т.е. напряжение (Вольт).
Величина z i определяется по закону:
где a – некоторое значение порогового напряжения.
Величина a обычно выбирается из условия:
Недостаток аппаратного способа в том, что он не позволяет применять метод двойного прогона для контроля работы алгоритма решения какой – либо задачи, так как при повторном прогоне не удается получать те же случайные числа.
Псевдослучайными называют числа, сформированные на ЭВМ с помощью специальных программ рекуррентным способом: каждое случайное число получают из предыдущего с помощью специальных преобразований.
Простейшее из этих преобразований следующее. Пусть имеется некоторое n – разрядное двоичное число из интервала nÎ (0, 1). Возведем его в квадрат, при этом получим уже 2 n разрядное число. Выделим средние n разрядов. Полученное таким образом n – разрядное число и будет новым значением случайного числа. Его опять возводим в квадрат и т.д. Такая последовательность псевдослучайна, т.к. с теоретической точки зрения она не является случайной.
Недостатком рекуррентных алгоритмов является то, что последовательности случайных чисел могут выродиться (например, будем получать только нулевую последовательность или последовательность единиц, или может проявляться периодичность).
Заметим, что в идеале кривая плотности распределения случайных чисел выглядела бы так, как показано на рис. 22.3 . То есть в идеальном случае в каждый интервал попадает одинаковое число точек: N i = N /k , где N общее число точек, k количество интервалов, i = 1, , k .
порождаемых идеальным генератором теоретически
Следует помнить, что генерация произвольного случайного числа состоит из двух этапов:
- генерация нормализованного случайного числа (то есть равномерно распределенного от 0 до 1);
- преобразование нормализованных случайных чисел r i в случайные числа x i , которые распределены по необходимому пользователю (произвольному) закону распределения или в необходимом интервале.
Генераторы случайных чисел по способу получения чисел делятся на:
- физические;
- табличные;
- алгоритмические.
Физические ГСЧ
Примером физических ГСЧ могут служить: монета («орел» 1, «решка» 0); игральные кости; поделенный на секторы с цифрами барабан со стрелкой; аппаратурный генератор шума (ГШ), в качестве которого используют шумящее тепловое устройство, например, транзистор (рис. 22.422.5 ).
| Задача «Генерация случайных чисел при помощи монеты» | |
|
Сгенерируйте случайное трехразрядное число, распределенное по равномерному закону в интервале от 0 до 1, с помощью монеты. Точность три знака после запятой. |
|
Первый способ решения задачи
Начертите интервал от 0 до 1. Считывая числа в последовательности слева направо, разбивайте интервал пополам и выбирайте каждый раз одну из частей очередного интервала (если выпал 0, то левую, если выпала 1, то правую). Таким образом, можно добраться до любой точки интервала, сколь угодно точно. Итак, 1 : интервал делится пополам и , выбирается правая половина, интервал сужается: . Следующее число, 0 : интервал делится пополам и , выбирается левая половина , интервал сужается: . Следующее число, 0 : интервал делится пополам и , выбирается левая половина , интервал сужается: . Следующее число, 1 : интервал делится пополам и , выбирается правая половина , интервал сужается: . По условию точности задачи решение найдено: им является любое число из интервала , например, 0.625. В принципе, если подходить строго, то деление интервалов нужно продолжить до тех пор, пока левая и правая границы найденного интервала не СОВПАДУТ между собой с точностью до третьего знака после запятой. То есть с позиций точности сгенерированное число уже не будет отличимо от любого числа из интервала, в котором оно находится.
Второй способ решения задачи
|
Табличные ГСЧ
Табличные ГСЧ в качестве источника случайных чисел используют специальным образом составленные таблицы, содержащие проверенные некоррелированные, то есть никак не зависящие друг от друга, цифры. В табл. 22.1 приведен небольшой фрагмент такой таблицы. Обходя таблицу слева направо сверху вниз, можно получать равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа с нужным числом знаков после запятой (в нашем примере мы используем для каждого числа по три знака). Так как цифры в таблице не зависят друг от друга, то таблицу можно обходить разными способами, например, сверху вниз, или справа налево, или, скажем, можно выбирать цифры, находящиеся на четных позициях.
| Таблица 22.1. Случайные цифры. Равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Случайные цифры | Равномерно распределенные от 0 до 1 случайные числа |
|||||||
| 9 | 2 | 9 | 2 | 0 | 4 | 2 | 6 | 0.929 |
| 9 | 5 | 7 | 3 | 4 | 9 | 0 | 3 | 0.204 |
| 5 | 9 | 1 | 6 | 6 | 5 | 7 | 6 | 0.269 |
Достоинство данного метода в том, что он дает действительно случайные числа, так как таблица содержит проверенные некоррелированные цифры. Недостатки метода: для хранения большого количества цифр требуется много памяти; большие трудности порождения и проверки такого рода таблиц, повторы при использовании таблицы уже не гарантируют случайности числовой последовательности, а значит, и надежности результата.
Находится таблица, содержащая 500 абсолютно случайных проверенных чисел (взято из книги И. Г. Венецкого, В. И. Венецкой «Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе»).
Алгоритмические ГСЧ
Числа, генерируемые с помощью этих ГСЧ, всегда являются псевдослучайными (или квазислучайными), то есть каждое последующее сгенерированное число зависит от предыдущего:
r i + 1 = f (r i ) .
Последовательности, составленные из таких чисел, образуют петли, то есть обязательно существует цикл, повторяющийся бесконечное число раз. Повторяющиеся циклы называются периодами .
Достоинством данных ГСЧ является быстродействие; генераторы практически не требуют ресурсов памяти, компактны. Недостатки: числа нельзя в полной мере назвать случайными, поскольку между ними имеется зависимость, а также наличие периодов в последовательности квазислучайных чисел.
Рассмотрим несколько алгоритмических методов получения ГСЧ:
- метод серединных квадратов;
- метод серединных произведений;
- метод перемешивания;
- линейный конгруэнтный метод.
Метод серединных квадратов
Имеется некоторое четырехзначное число R 0 . Это число возводится в квадрат и заносится в R 1 . Далее из R 1 берется середина (четыре средних цифры) новое случайное число и записывается в R 0 . Затем процедура повторяется (см. рис. 22.6 ). Отметим, что на самом деле в качестве случайного числа необходимо брать не ghij , а 0.ghij с приписанным слева нулем и десятичной точкой. Этот факт отражен как на рис. 22.6 , так и на последующих подобных рисунках.
 |
Недостатки метода: 1) если на некоторой итерации число R 0 станет равным нулю, то генератор вырождается, поэтому важен правильный выбор начального значения R 0 ; 2) генератор будет повторять последовательность через M n шагов (в лучшем случае), где n разрядность числа R 0 , M основание системы счисления.
Для примера на рис. 22.6 : если число R 0 будет представлено в двоичной системе счисления, то последовательность псевдослучайных чисел повторится через 2 4 = 16 шагов. Заметим, что повторение последовательности может произойти и раньше, если начальное число будет выбрано неудачно.
Описанный выше способ был предложен Джоном фон Нейманом и относится к 1946 году. Поскольку этот способ оказался ненадежным, от него очень быстро отказались.
Метод серединных произведений
Число R 0 умножается на R 1 , из полученного результата R 2 извлекается середина R 2 * (это очередное случайное число) и умножается на R 1 . По этой схеме вычисляются все последующие случайные числа (см. рис. 22.7 ).
 |
Метод перемешивания
В методе перемешивания используются операции циклического сдвига содержимого ячейки влево и вправо. Идея метода состоит в следующем. Пусть в ячейке хранится начальное число R 0 . Циклически сдвигая содержимое ячейки влево на 1/4 длины ячейки, получаем новое число R 0 * . Точно так же, циклически сдвигая содержимое ячейки R 0 вправо на 1/4 длины ячейки, получаем второе число R 0 ** . Сумма чисел R 0 * и R 0 ** дает новое случайное число R 1 . Далее R 1 заносится в R 0 , и вся последовательность операций повторяется (см. рис. 22.8 ).
 |
Обратите внимание, что число, полученное в результате суммирования R 0 * и R 0 ** , может не уместиться полностью в ячейке R 1 . В этом случае от полученного числа должны быть отброшены лишние разряды. Поясним это для рис. 22.8 , где все ячейки представлены восемью двоичными разрядами. Пусть R 0 * = 10010001 2 = 145 10 , R 0 ** = 10100001 2 = 161 10 , тогда R 0 * + R 0 ** = 100110010 2 = 306 10 . Как видим, число 306 занимает 9 разрядов (в двоичной системе счисления), а ячейка R 1 (как и R 0 ) может вместить в себя максимум 8 разрядов. Поэтому перед занесением значения в R 1 необходимо убрать один «лишний», крайний левый бит из числа 306, в результате чего в R 1 пойдет уже не 306, а 00110010 2 = 50 10 . Также заметим, что в таких языках, как Паскаль, «урезание» лишних битов при переполнении ячейки производится автоматически в соответствии с заданным типом переменной.
Линейный конгруэнтный метод
Линейный конгруэнтный метод является одной из простейших и наиболее употребительных в настоящее время процедур, имитирующих случайные числа. В этом методе используется операция mod(x , y ) , возвращающая остаток от деления первого аргумента на второй. Каждое последующее случайное число рассчитывается на основе предыдущего случайного числа по следующей формуле:
r i + 1 = mod(k · r i + b , M ) .
Последовательность случайных чисел, полученных с помощью данной формулы, называется линейной конгруэнтной последовательностью . Многие авторы называют линейную конгруэнтную последовательность при b = 0 мультипликативным конгруэнтным методом , а при b ≠ 0 смешанным конгруэнтным методом .
Для качественного генератора требуется подобрать подходящие коэффициенты. Необходимо, чтобы число M было довольно большим, так как период не может иметь больше M элементов. С другой стороны, деление, использующееся в этом методе, является довольно медленной операцией, поэтому для двоичной вычислительной машины логичным будет выбор M = 2 N , поскольку в этом случае нахождение остатка от деления сводится внутри ЭВМ к двоичной логической операции «AND». Также широко распространен выбор наибольшего простого числа M , меньшего, чем 2 N : в специальной литературе доказывается, что в этом случае младшие разряды получаемого случайного числа r i + 1 ведут себя так же случайно, как и старшие, что положительно сказывается на всей последовательности случайных чисел в целом. В качестве примера можно привести одно из чисел Мерсенна , равное 2 31 1 , и таким образом, M = 2 31 1 .
Одним из требований к линейным конгруэнтным последовательностям является как можно большая длина периода. Длина периода зависит от значений M , k и b . Теорема, которую мы приведем ниже, позволяет определить, возможно ли достижение периода максимальной длины для конкретных значений M , k и b .
Теорема . Линейная конгруэнтная последовательность, определенная числами M , k , b и r 0 , имеет период длиной M тогда и только тогда, когда:
- числа b и M взаимно простые;
- k 1 кратно p для каждого простого p , являющегося делителем M ;
- k 1 кратно 4, если M кратно 4.
Наконец, в заключение рассмотрим пару примеров использования линейного конгруэнтного метода для генерации случайных чисел.
Было установлено, что ряд псевдослучайных чисел, генерируемых на основе данных из примера 1, будет повторяться через каждые M /4 чисел. Число q задается произвольно перед началом вычислений, однако при этом следует иметь в виду, что ряд производит впечатление случайного при больших k (а значит, и q ). Результат можно несколько улучшить, если b нечетно и k = 1 + 4 · q в этом случае ряд будет повторяться через каждые M чисел. После долгих поисков k исследователи остановились на значениях 69069 и 71365 .
Генератор случайных чисел, использующий данные из примера 2, будет выдавать случайные неповторяющиеся числа с периодом, равным 7 миллионам.
Мультипликативный метод генерации псевдослучайных чисел был предложен Д. Г. Лехмером (D. H. Lehmer) в 1949 году.
Проверка качества работы генератора
От качества работы ГСЧ зависит качество работы всей системы и точность результатов. Поэтому случайная последовательность, порождаемая ГСЧ, должна удовлетворять целому ряду критериев.
Осуществляемые проверки бывают двух типов:
- проверки на равномерность распределения;
- проверки на статистическую независимость.
Проверки на равномерность распределения
1) ГСЧ должен выдавать близкие к следующим значения статистических параметров, характерных для равномерного случайного закона:
2) Частотный тест
Частотный тест позволяет выяснить, сколько чисел попало в интервал (m r σ r ; m r + σ r ) , то есть (0.5 0.2887; 0.5 + 0.2887) или, в конечном итоге, (0.2113; 0.7887) . Так как 0.7887 0.2113 = 0.5774 , заключаем, что в хорошем ГСЧ в этот интервал должно попадать около 57.7% из всех выпавших случайных чисел (см. рис. 22.9 ).
в случае проверки его на частотный тест
Также необходимо учитывать, что количество чисел, попавших в интервал (0; 0.5) , должно быть примерно равно количеству чисел, попавших в интервал (0.5; 1) .
3) Проверка по критерию «хи-квадрат»
Критерий «хи-квадрат» (χ 2 -критерий) это один из самых известных статистических критериев; он является основным методом, используемым в сочетании с другими критериями. Критерий «хи-квадрат» был предложен в 1900 году Карлом Пирсоном. Его замечательная работа рассматривается как фундамент современной математической статистики.
Для нашего случая проверка по критерию «хи-квадрат» позволит узнать, насколько созданный нами реальный ГСЧ близок к эталону ГСЧ , то есть удовлетворяет ли он требованию равномерного распределения или нет.
Частотная диаграмма эталонного ГСЧ представлена на рис. 22.10 . Так как закон распределения эталонного ГСЧ равномерный, то (теоретическая) вероятность p i попадания чисел в i -ый интервал (всего этих интервалов k ) равна p i = 1/k . И, таким образом, в каждый из k интервалов попадет ровно по p i · N чисел (N общее количество сгенерированных чисел).
Реальный ГСЧ будет выдавать числа, распределенные (причем, не обязательно равномерно!) по k интервалам и в каждый интервал попадет по n i чисел (в сумме n 1 + n 2 + + n k = N ). Как же нам определить, насколько испытываемый ГСЧ хорош и близок к эталонному? Вполне логично рассмотреть квадраты разностей между полученным количеством чисел n i и «эталонным» p i · N . Сложим их, и в результате получим:
χ 2 эксп. = (n 1 p 1 · N ) 2 + (n 2 p 2 · N ) 2 + + (n k p k · N ) 2 .
Из этой формулы следует, что чем меньше разность в каждом из слагаемых (а значит, и чем меньше значение χ 2 эксп. ), тем сильнее закон распределения случайных чисел, генерируемых реальным ГСЧ, тяготеет к равномерному.
В предыдущем выражении каждому из слагаемых приписывается одинаковый вес (равный 1), что на самом деле может не соответствовать действительности; поэтому для статистики «хи-квадрат» необходимо провести нормировку каждого i -го слагаемого, поделив его на p i · N :
Наконец, запишем полученное выражение более компактно и упростим его:
Мы получили значение критерия «хи-квадрат» для экспериментальных данных.
В табл. 22.2 приведены теоретические значения «хи-квадрат» (χ 2 теор. ), где ν = N 1 это число степеней свободы, p это доверительная вероятность, задаваемая пользователем, который указывает, насколько ГСЧ должен удовлетворять требованиям равномерного распределения, или p это вероятность того, что экспериментальное значение χ 2 эксп. будет меньше табулированного (теоретического) χ 2 теор. или равно ему .
| Таблица 22.2. Некоторые процентные точки χ 2 -распределения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| p = 1% | p = 5% | p = 25% | p = 50% | p = 75% | p = 95% | p = 99% | |
| ν = 1 | 0.00016 | 0.00393 | 0.1015 | 0.4549 | 1.323 | 3.841 | 6.635 |
| ν = 2 | 0.02010 | 0.1026 | 0.5754 | 1.386 | 2.773 | 5.991 | 9.210 |
| ν = 3 | 0.1148 | 0.3518 | 1.213 | 2.366 | 4.108 | 7.815 | 11.34 |
| ν = 4 | 0.2971 | 0.7107 | 1.923 | 3.357 | 5.385 | 9.488 | 13.28 |
| ν = 5 | 0.5543 | 1.1455 | 2.675 | 4.351 | 6.626 | 11.07 | 15.09 |
| ν = 6 | 0.8721 | 1.635 | 3.455 | 5.348 | 7.841 | 12.59 | 16.81 |
| ν = 7 | 1.239 | 2.167 | 4.255 | 6.346 | 9.037 | 14.07 | 18.48 |
| ν = 8 | 1.646 | 2.733 | 5.071 | 7.344 | 10.22 | 15.51 | 20.09 |
| ν = 9 | 2.088 | 3.325 | 5.899 | 8.343 | 11.39 | 16.92 | 21.67 |
| ν = 10 | 2.558 | 3.940 | 6.737 | 9.342 | 12.55 | 18.31 | 23.21 |
| ν = 11 | 3.053 | 4.575 | 7.584 | 10.34 | 13.70 | 19.68 | 24.72 |
| ν = 12 | 3.571 | 5.226 | 8.438 | 11.34 | 14.85 | 21.03 | 26.22 |
| ν = 15 | 5.229 | 7.261 | 11.04 | 14.34 | 18.25 | 25.00 | 30.58 |
| ν = 20 | 8.260 | 10.85 | 15.45 | 19.34 | 23.83 | 31.41 | 37.57 |
| ν = 30 | 14.95 | 18.49 | 24.48 | 29.34 | 34.80 | 43.77 | 50.89 |
| ν = 50 | 29.71 | 34.76 | 42.94 | 49.33 | 56.33 | 67.50 | 76.15 |
| ν > 30 | ν + sqrt(2ν ) · x p + 2/3 · x 2 p 2/3 + O (1/sqrt(ν )) | ||||||
| x p = | 2.33 | 1.64 | 0.674 | 0.00 | 0.674 | 1.64 | 2.33 |
Приемлемым считают p от 10% до 90% .
Если χ 2 эксп. много больше χ 2 теор. (то есть p велико), то генератор не удовлетворяет требованию равномерного распределения, так как наблюдаемые значения n i слишком далеко уходят от теоретических p i · N и не могут рассматриваться как случайные. Другими словами, устанавливается такой большой доверительный интервал, что ограничения на числа становятся очень нежесткими, требования к числам слабыми. При этом будет наблюдаться очень большая абсолютная погрешность.
Еще Д. Кнут в своей книге «Искусство программирования» заметил, что иметь χ 2 эксп. маленьким тоже, в общем-то, нехорошо, хотя это и кажется, на первый взгляд, замечательно с точки зрения равномерности. Действительно, возьмите ряд чисел 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, они идеальны с точки зрения равномерности, и χ 2 эксп. будет практически нулевым, но вряд ли вы их признаете случайными.
Если χ 2 эксп. много меньше χ 2 теор. (то есть p мало), то генератор не удовлетворяет требованию случайного равномерного распределения, так как наблюдаемые значения n i слишком близки к теоретическим p i · N и не могут рассматриваться как случайные.
А вот если χ 2 эксп. лежит в некотором диапазоне, между двумя значениями χ 2 теор. , которые соответствуют, например, p = 25% и p = 50%, то можно считать, что значения случайных чисел, порождаемые датчиком, вполне являются случайными.
При этом дополнительно надо иметь в виду, что все значения p i · N должны быть достаточно большими, например больше 5 (выяснено эмпирическим путем). Только тогда (при достаточно большой статистической выборке) условия проведения эксперимента можно считать удовлетворительными.
Итак, процедура проверки имеет следующий вид.
Проверки на статистическую независимость
1) Проверка на частоту появления цифры в последовательности
Рассмотрим пример. Случайное число 0.2463389991 состоит из цифр 2463389991, а число 0.5467766618 состоит из цифр 5467766618. Соединяя последовательности цифр, имеем: 24633899915467766618.
Понятно, что теоретическая вероятность p i выпадения i -ой цифры (от 0 до 9) равна 0.1.
2) Проверка появления серий из одинаковых цифр
Обозначим через n L число серий одинаковых подряд цифр длины L . Проверять надо все L от 1 до m , где m это заданное пользователем число: максимально встречающееся число одинаковых цифр в серии.
В примере «24633899915467766618» обнаружены 2 серии длиной в 2 (33 и 77), то есть n 2 = 2 и 2 серии длиной в 3 (999 и 666), то есть n 3 = 2 .
Вероятность появления серии длиной в L равна: p L = 9 · 10 L (теоретическая). То есть вероятность появления серии длиной в один символ равна: p 1 = 0.9 (теоретическая). Вероятность появления серии длиной в два символа равна: p 2 = 0.09 (теоретическая). Вероятность появления серии длиной в три символа равна: p 3 = 0.009 (теоретическая).
Например, вероятность появления серии длиной в один символ равна p L = 0.9 , так как всего может встретиться один символ из 10, а всего символов 9 (ноль не считается). А вероятность того, что подряд встретится два одинаковых символа «XX» равна 0.1 · 0.1 · 9, то есть вероятность 0.1 того, что в первой позиции появится символ «X», умножается на вероятность 0.1 того, что во второй позиции появится такой же символ «X» и умножается на количество таких комбинаций 9.
Частость появления серий подсчитывается по ранее разобранной нами формуле «хи-квадрат» с использованием значений p L .
Примечание: генератор может быть проверен многократно, однако проверки не обладают свойством полноты и не гарантируют, что генератор выдает случайные числа. Например, генератор, выдающий последовательность 12345678912345 , при проверках будет считаться идеальным, что, очевидно, не совсем так.
В заключение отметим, что третья глава книги Дональда Э. Кнута «Искусство программирования» (том 2) полностью посвящена изучению случайных чисел. В ней изучаются различные методы генерирования случайных чисел, статистические критерии случайности, а также преобразование равномерно распределенных случайных чисел в другие типы случайных величин. Изложению этого материала уделено более двухсот страниц.
Урок 15. Случай - душа игры
Вы уже научили черепашку многому. Но у нее есть еще и другие, скрытые возможности. Может ли черепашка самостоятельно сделать что-нибудь такое, что
удивит вас?
Оказывается, да! В списке датчиков черепашки есть датчик случайных чисел
:
случайный
Со случайными числами мы встречаемся часто: кидая игральную кость в детской игре, слушая в лесу кукушку-предсказательницу
или просто «загадывая любое число». Датчик случайных чисел в ЛогоМирах может принимать значение любого целого положительно-то числа от 0 до заданной в
качестве параметра границы значений.
Само число, указанноев качестве параметра датчика случайных чисел, не выпадает никогда.
Например, датчик случайный 20 может оказаться любым целым числом от 0 до 19, включая 19, датчик случайный 1000 - любым целым числом от 0 до 999, включая
999.
Вы, вероятно, удивитесь, где же здесь игра - одни числа. Но не забывайте, что в ЛогоМирах с помощью чисел можно задать и форму черепашки, и толщину
пишущего пера, и его размер, и цвет, и многое другое. Главное - правильно выбрать границу значений. Границы изменения основных параметров
черепашки приведены в таблице.
Датчик случайных чисел можно использовать в качестве параметра любой команды, например вперед
, направо
и т. п.
Задание 24.
Использование датчика случайных чисел
Организуйте при помощи датчика случайных чисел одну из предложенных ниже игр и запустите черепашку.
Игра 1: «Разноцветный экран»
1. Поместите черепашку в центр экрана.
2. Наберите в Рюкзаке команды и задайте режим Много раз
:
нов_цвет случайный 140 крась жди 10
Команда крась
выполняет те же действия, что и инструмент Заливка в графическом редакторе.
3. Озвучьте сюжет.
Игра 2: «Веселый маляр»
1. Измените игру № 1, расчертив экран линиями на произвольные участки с непрерывными границами:
2. Дополните инструкцию в Рюкзаке черепашки случайными поворотами и перемещениями:
направо случайный 360
вперед случайный 150
Задайте в Рюкзаке инструкцию перемещения черепашки (вперед 60
) с опущенным пером толщиной 60
случайного цвета (0-139) под небольшим углом (нов_курс 10
).Игра 4: «Охота»
Разработайте сюжет, в котором красная черепашка охотится за черной. Черная черепашка движется по случайной траектории, а направление движения красной черепашки управляется бегунком.
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое датчик случайных чисел?
2. Какой параметр у датчика случайных чисел?
3. Что означает граница значений?
4. Выпадает ли когда-либо само число, указанное в качестве параметра?
Детерминированные ГПСЧ
Никакой детерминированный алгоритм не может генерировать полностью случайные числа, он может только аппроксимировать некоторые свойства случайных чисел. Как сказал Джон фон Нейман , «всякий, кто питает слабость к арифметическим методам получения случайных чисел, грешен вне всяких сомнений ».
Любой ГПСЧ с ограниченными ресурсами рано или поздно зацикливается - начинает повторять одну и ту же последовательность чисел. Длина циклов ГПСЧ зависит от самого генератора и в среднем составляет около 2 n/2 , где n - размер внутреннего состояния в битах, хотя линейные конгруэнтные и LFSR -генераторы обладают максимальными циклами порядка 2 n . Если ГПСЧ может сходиться к слишком коротким циклам, такой ГПСЧ становится предсказуемым и является непригодным.
Большинство простых арифметических генераторов хотя и обладают большой скоростью, но страдают от многих серьёзных недостатков:
- Слишком короткий период/периоды.
- Последовательные значения не являются независимыми.
- Некоторые биты «менее случайны», чем другие.
- Неравномерное одномерное распределение.
- Обратимость.
В частности, алгоритм мейнфреймах, оказался очень плохим , что вызвало сомнения в достоверности результатов многих исследований, использовавших этот алгоритм.
ГПСЧ с источником энтропии или ГСЧ
Наравне с существующей необходимостью генерировать легко воспроизводимые последовательности случайных чисел, также существует необходимость генерировать совершенно непредсказуемые или попросту абсолютно случайные числа. Такие генераторы называются генераторами случайных чисел (ГСЧ - англ. random number generator, RNG ). Так как такие генераторы чаще всего применяются для генерации уникальных симметричных и асимметричных ключей для шифрования, они чаще всего строятся из комбинации криптостойкого ГПСЧ и внешнего источника энтропии (и именно такую комбинацию теперь и принято понимать под ГСЧ).
Почти все крупные производители микрочипов поставляют аппаратные ГСЧ с различными источниками энтропии, используя различные методы для их очистки от неизбежной предсказуемости. Однако на данный момент скорость сбора случайных чисел всеми существующими микрочипами (несколько тысяч бит в секунду) не соответствует быстродействию современных процессоров.
В персональных компьютерах авторы программных ГСЧ используют гораздо более быстрые источники энтропии, такие, как шум звуковой карты или счётчик тактов процессора . До появления возможности считывать значения счётчика тактов, сбор энтропии являлся наиболее уязвимым местом ГСЧ. Эта проблема до сих пор полностью не разрешена во многих устройствах (например, смарт-картах), которые таким образом остаются уязвимыми. Многие ГСЧ до сих пор используют традиционные (устаревшие) методы сбора энтропии вроде измерения реакции пользователя (движение мыши и т. п.), как, например, в , или взаимодействия между потоками , как, например, в Java secure random.
Примеры ГСЧ и источников энтропии
Несколько примеров ГСЧ с их источниками энтропии и генераторами:
| Источник энтропии | ГПСЧ | Достоинства | Недостатки | |
|---|---|---|---|---|
| /dev/random в Linux | Счётчик тактов процессора, однако собирается только во время аппаратных прерываний | LFSR , с хешированием выхода через | Очень долго «нагревается», может надолго «застревать», либо работает как ГПСЧ (/dev/urandom ) | |
| Yarrow от Брюса Шнайера | Традиционные (устаревшие) методы | AES -256 и | Гибкий криптостойкий дизайн | Долго «нагревается», очень маленькое внутреннее состояние, слишком сильно зависит от криптостойкости выбранных алгоритмов, медленный, применим исключительно для генерации ключей |
| Генератор Леонида Юрьева | Шум звуковой карты | ? | Скорее всего, хороший и быстрый источник энтропии | Нет независимого, заведомо криптостойкого ГПСЧ, доступен исключительно в виде Windows |
| Microsoft | Встроен в Windows, не «застревает» | Маленькое внутреннее состояние, легко предсказуем | ||
| Взаимодействие между потоками | В Java другого выбора пока нет, большое внутреннее состояние | Медленный сбор энтропии | ||
| Chaos от Ruptor | Счётчик тактов процессора, собирается непрерывно | Хеширование 4096-битового внутреннего состояния на основе нелинейного варианта Marsaglia-генератора | Пока самый быстрый из всех, большое внутреннее состояние, не «застревает» | |
| RRAND от Ruptor | Счётчик тактов процессора | Зашифровывание внутреннего состояния поточным шифром | Очень быстр, внутреннее состояние произвольного размера по выбору, не «застревает» |
ГПСЧ в криптографии
Разновидностью ГПСЧ являются ГПСБ (PRBG) - генераторы псевдо-случайных бит, а так же различных поточных шифров . ГПСЧ, как и поточные шифры, состоят из внутреннего состояния (обычно размером от 16 бит до нескольких мегабайт), функции инициализации внутреннего состояния ключом или семенем (англ. seed ), функции обновления внутреннего состояния и функции вывода. ГПСЧ подразделяются на простые арифметические, сломанные криптографические и криптостойкие . Их общее предназначение - генерация последовательностей чисел, которые невозможно отличить от случайных вычислительными методами.
Хотя многие криптостойкие ГПСЧ или поточные шифры предлагают гораздо более «случайные» числа, такие генераторы гораздо медленнее обычных арифметических и могут быть непригодны во всякого рода исследованиях, требующих, чтобы процессор был свободен для более полезных вычислений.
В военных целях и в полевых условиях применяются только засекреченные синхронные криптостойкие ГПСЧ (поточные шифры), блочные шифры не используются. Примерами известных криптостойких ГПСЧ являются ISAAC, SEAL , Snow, совсем медленный теоретический алгоритм Блюма, Блюма и Шуба , а так же счётчики с криптографическими хеш-функциями или криптостойкими блочными шифрами вместо функции вывода.
Аппаратные ГПСЧ
Кроме устаревших, хорошо известных LFSR-генераторов, широко применявшихся в качестве аппаратных ГПСЧ в XX веке, к сожалению, очень мало известно о современных аппаратных ГПСЧ (поточных шифрах), так как большинство из них разработано для военных целей и держатся в секрете. Почти все существующие коммерческие аппаратные ГПСЧ запатентованы и также держатся в секрете. Аппаратные ГПСЧ ограничены строгими требованиями к расходуемой памяти (чаще всего использование памяти запрещено), быстродействию (1-2 такта) и площади (несколько сотен FPGA - или
Из-за недостатка хороших аппаратных ГПСЧ производители вынуждены применять имеющиеся под рукой гораздо более медленные, но широко известные блочные шифры ( Компьютерное обозрение № 29 (2003)
